初中数学求证等积式的三个层次卓立波“等积式化比例，横找直找找相似，相似若是找不到，左右相通必有桥。”这首打油诗不仅概括证明等积式的基本思路，同时也将证明等积式的题目按思维深度（难易程度）分成三个层次。一.直接通过相似三角形证明例1.如图1所示在△ABC中，高线AD、CE交于点O。求证：。图1分析：将等积式化比例式，考虑比例式中的四条线能否是两个相似三角形的对应边。横找：线段OC，OD是△OCD的两边，而线段AB，BD是△ABD的两边，易证△OCD与△BAD相似。证明：评注：由于比例的性质——比例的内项或外项可以交换位置，所以在根据比例式寻找相应的相似三角形时，有时需横找（分别从比例式的分子线段中与分母的线段中找相应的三角形），有时需直找（分别从比例式的左边线段中与右边的线段中找相应的三角形）。二.用等量线段代换后，再证通过相似三角形证明例2.如图2所示，在△ABC中，AD是的平分线，AD的中垂线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：。图2分析：要证明FD是FB与FC的比例中项，由于FD，FB，FC三线在同一直线上，不可能直接通过相似三角形证明。由于题设中AD的中垂线交BC的延长线于点F，则可考虑等线段代换，连结AF，得FA=FD。证明：连结AF。∵EF是AD的中垂线评注：证明同一条直线上的线段成比例，常可用等量线段代换法证明。三.利用中间量（桥）过度例3.如图3所示，已知在△ABC中，，，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F。求证：图3分析：等积式化比例式，因为要证明的比例式中的四条线段不能组成两个相似的三角形，也很难找到等量线段代换，左右相通必有“桥”。从比例式左边入手，探寻（构造）分别以AB，AC为边的三角形相似。易知，得，再从比例式右边分析，探寻（构造）分别以DF，AF为边的三角形相似—。证明：评注：在证明比例式时，如果直接证明或等量代换有困难时，则可以考虑等比代换或等积代换，利用中间比（积）过渡。
