专题14空间向量与立体几何1．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是()A．①②B．①③C．②③D．①②③2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴解得答案D3．已知点B是点A(3，7，－4)在xOz平面上的射影，则OB2等于()A．(9，0，16)B．25C．5D．13解析A在xOz平面上的射影为B(3，0，－4)，则OB＝(3，0，－4)，OB2＝25.答案B4．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上，且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.B.C.D.解析如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.由条件知MN＝MA＋AB＋BN＝－(a＋b＋c)＋a＋c＝a－b＋c，∴MN2＝a2＋b2＋c2＝，∴|MN|＝.答案A5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝.∴θ＝30°.答案A6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.答案B7．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴D1A1＝(2，0，0)，DA1＝(2，0，2)，DB＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案D8．二面角αlβ等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A.B.C．2D.9.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A．0B.C.D.解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案A10．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB|的取值范围是()A．[0，5]B．[1，5]C．(0，5)D．[1，25]11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以AB，AC为边的平行四边形的面积为________．解析由题意可得：AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.∴sin〈AB，AC〉＝.∴以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.答案712．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．解析设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.∴BD⊥CE，BD⊥A1E.∴∠A1EC为二面角A1BDC的平面角．∴∠A1EC＝60°，又A1E＝CE，∴△A1EC是等边三角形．∴A1E＝CE＝A1C＝a.即折叠后点A与C之间的距离为a.答案a13.如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离．解以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)．(1)证明由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)．所以：MN＝(－1，0，－1)，AB＝(0，－4，0)，MN·AB＝0，∴MN⊥AB.(3) AN＝(0，－2，0)，∴点A到平面SND的距离d＝＝.14．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t(0
