圆锥曲线（10）1、如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值解(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0)故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·=(2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］(2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=52、舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？解取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2)由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x－3y+7=01DCBAoyx又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则,∴sin2θ=,∴仰角θ=30°3、若椭圆=1(a＞b＞0)与直线lx+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域解由方程组消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0①则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为如图所示的阴影部分学生巩固练习1已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于(B)A3BCD1解：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2)直线AC所在方程为x－3y+2=0,点B到该直线的距离为d=∵m∈(1,4),∴当时，S△ABC有最大值，此时m=2300BACPoyx11oyx答案2设u,v∈R，且|u|≤,v＞0,则(u－v)2+()2的最小值为(C)A4B2C8D2解：考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值3、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________＜e＜1解：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆x2－ax+y2=0,两式联立消y得x2－ax+b2=0即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜15已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________(－∞,－3∪1,+∞)解析设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)∵BP⊥PQ,∴=－1,即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0即s2+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥18如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围8解(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1∴曲线C的方程为+y2=1(2)设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞由图可知=λ由韦达定理得将x1=λx2代入得3OQDBAx1x2DNMoyx两式相除得①M在D、N中间，∴λ＜1②又∵当k不存在时，显然λ=(此时直线l与y轴重合)4
