2.2.1直线的参数方程课后篇巩固探究A组1.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是()A.B.C.(0,-4),(8,0)D.,(8,0)答案:B2.过点(1,1),倾斜角为135°的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为()A.B.C.2D.解析:直线的参数方程为(t为参数),代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-,t2=,故所求弦长为|t1-t2|=|-|=2.答案:C3.直线2x-y+1=0的参数方程为()A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)解析:根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为α,则tanα=2,sinα=,cosα=,所以直线的参数方程是(t为参数).1答案:A4.已知P1,P2是直线(t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,-2)的距离是()A.B.C.D.解析:由t的几何意义可知,P1P2的中点对应的参数为,点P对应的参数为t=0,故P1P2的中点到点P的距离为.答案:B5.直线(t为参数)过定点.解析:由(t为参数)得-(y+1)a+(4x-12)=0.若-(y+1)a+(4x-12)=0对于任意a都成立,则x=3,y=-1.答案:(3,-1)6.直线l:(t为参数)上的点P(-4,1-)到直线l与x轴交点间的距离是.解析:在直线l:(t为参数)中,令y=0,得t=-1.故直线l与x轴的交点为Q(-1-,0).故|PQ|===2-2.答案:2-227.直线过点A(1,3),且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点P(-2,-1)到此直线的距离.解(1)由题意知直线的点斜式方程为y-3=-(x-1).设y-3=-(x-1)=t,则(t为参数).所以该直线的参数方程为(t为参数).(2)(方法一)如图所示,在直线上任取一点M(x,y),则|PM|2=(x+2)2+(y+1)2=+(3+t+1)2=t2+5t+25=(t+2)2+20.当t=-2时,|PM|2取最小值,此时|PM|等于点P与直线的距离,则|PM|==2.(方法二)由点P向直线作垂线,垂足记为P0,如上图所示,它对应参数t=-2,代入直线的参数方程,可得点P0的坐标为P0(2,1),显然有|PP0|==2.8.已知两点A(2,1),B(-1,2)和直线l:x+2y-5=0.求过点A,B的直线的参数方程,并求它与直线l的交点的坐标.解设直线AB上动点P(x,y),选取参数λ=,则直线AB的参数方程为(λ为参数).①3把①代入x+2y-5=0得λ=-.把λ=-代入①得即交点坐标为(5,0).9.导学号73144026已知直线(t为参数)与抛物线y2=4x交于两个不同的点P,Q,且A(2,4).(1)求AP+AQ的值;(2)求PQ的长.解已知直线的斜率为-1,故直线的倾斜角为135°,故(t'为参数),代入y2=4x,得t'2+12t'+16=0,故有t'1+t'2=-12,t'1t'2=16.(1)AP+AQ=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=12.(2)PQ=|t'1-t'2|==4.B组1.已知直线(t为参数)与椭圆x2+2y2=8交于A,B两点,则|AB|等于()A.2B.C.2D.解析:把直线的参数方程代入x2+2y2=8,得3t2-6t+1=0,解得t1=1+,t2=1-,得A,B.4故|AB|=.答案:B2.直线(t为参数)上与点P(-2,3)之间的距离等于的点的坐标是()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析:设点Q与点P之间的距离等于,Q(x0,y0),则(t为参数).由|PQ|=,得(-2-t+2)2+(3+t-3)2=2,即t2=,得t=±.当t=时,Q(-3,4);当t=-时,Q(-1,2).答案:C3.设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)之间的距离为,若该直线的参数方程改写成(t'为参数),则点P对应的t'值为.解析:由|PM0|=知t=±,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t'=1或t'=-1.答案:±14.导学号73144027一条直线的参数方程是(t为参数),另一条直线的方程是x-y-2=0,则这两条直线的交点与点(1,-5)之间的距离是.5解析:把参数方程代入x-y-2=0,得1+t+5-t-2=0,解得t=4.故两条直线的交点为(1+2,1),则交点与点(1,-5)之间的距离为d==4.答案:45.已知直线l:(t为参数).(1)分别求t=0,2,-2时对应的点M(x,y);(2)求直线l的倾斜角.解(1)由直线l:(t为参数)知,当t=0,2,-2时,分别对应直线l上的点(-,2),(0,3),(-2,1).(2)(方法一)化直线l:(t为参数)为普通方程为y-2=(x+),其中k=tanα=,0≤α<π.故直线l的倾斜角α=.(方法二)由于直线l:(t为参数),这是过点M0(-,2),且倾斜角α=的直线,故为所求.66.过点P作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点A,B,求|PA|·|PB|的最小值及相应的α值.解∵直线过点,倾斜角为α,∴直线的参数方程为(t为参数).将其代入x2+2y2=1中,得+2(tsinα)2=1,整理,得(1+sin2α)t2+(cosα)t+=0,∴t1+t2=,t1t2=,∴|PA|·|PB|=|t1t2|=.又∵Δ=(cosα)2-4(1+sin2α)×≥0,∴10cos2α-6-6sin2α≥0.∴10(1-sin2α)-6-6sin2α≥0.∴sin2α≤.∵α∈[0,π),∴当且仅当sin2α=,即sinα=,即α=时,|PA|·|PB|最小,其最小值为,∴|PA|·|PB|min=.7
