初三数学两圆相切两圆的位置关系两圆的公切线例题解析一.本周教学内容：6.9两圆相切6.10两圆的位置关系6.11两圆的公切线二.教学目标：1.了解两圆的五种位置关系，了解两圆的公切线的概念。2.理解、学会判定两圆的位置关系。3.掌握两圆相切，相交的性质定理，并学会计算两圆公切线长三.重、难点：1.重点：两圆相切、相交的有关性质及判定定理。2.难点：通过添加公切线、连心线、公共弦解题，构造计算公切线长的基本图形。[例1]如图，⊙与⊙内切于点P，⊙的弦AB切⊙于点C，连结PC交⊙于D。求证：。证明：证法1：过P作⊙的切线PT，则PT也是⊙的切线，连结AP，PB。所以又因为AB切⊙O1于C，所以因为，，所以所以，AD=BD证法2：连结并延长，则必过切点P（如图6—62），连结，因为，所以同理所以所以因为AB切⊙于点C，所以。所以。所以AD=BD精析：解决此问题的关键是添加辅助线。两圆相切时，通过添加公共切线，可以把一个圆中的圆周角，通过弦切线而过渡到另一个圆中的圆周角，同时连结相切两圆的圆心的直线也是常用的辅助线，它既过切点又垂直于两圆的公共切线，而且还能把R，和联系在一起。[例2]已知两圆的半径之比为，两圆内切时的圆心距为，求当两圆的圆心距分别为30cm，21cm，10cm，5cm时相应的两圆的位置关系。解：设两圆的半径分别为R，r因为两圆的半径之比为，所以可设，。又因为当两圆内切时，圆心距为9cm，故有，解得，所以R=，。当时，，故两圆外离；当时，，故两圆外切；当时，，故两圆相交；当时，，故两圆内含。精析：判定两圆的位置关系时，要抓住两圆的半径之和、半径之差与圆心距之间的数量关系这一关键。[例3]如图，⊙与⊙相交于点A，B，公共弦AB的长为8，，⊙的半径为10。求：（1）⊙的面积；（2）圆心距的长。⊙解：（1）连接，根据相交两圆的连心线性质得：于C，且AC=AB=4。在中，，所以。所以。（2）在中，因为，所以。所以在中，，AC=4，所以。精析：两圆相交，常添连心线（或公共弦），利用相交两圆的连心线垂直平分公共弦这一性质，得到直角三角形，然后借助于解直角三角形。勾股定理等知识求解。[例4]如图，已知⊙和⊙外切于点P，外公切线AB分别切两圆于A，B，交的延长线于点C，连结AP，BP，求证：（1）；（2）证明：（1）过点P作两圆的内分切线交AB于点M。因为AB是两圆的外公切线，所以MA=MP=MB，所以（2）连结，则。因为，所以又因为，所以。又因为，所以∽，所以，所以。精析：当两圆内切或外切时，常作两圆的内公切线或外公切线为辅助线。[例5]两圆的半径分别为6cm和2cm，圆心距为5cm，求：（1）两圆的外公切线长；（2）外公切线与连心线夹角的正切值。解：（1）（cm）。（2）设外公切线与连心线夹角为，则说明：对于公切线长的计算问题，不能死记硬背公式，应该在理解两圆的外公切线和内分切线画法的基础上，熟悉两个解题基本图形（如图甲和乙）。在图甲中，AB是⊙和⊙的外公切线，A，B为切点，连结，，过作于E，则构造出了一个矩形和一个直角三角形，而有关两圆的外公切线及其他量的计算问题均可通过解直角三角形来解决。例如外公切线长，外公切线与连心线的夹角即为等等。同样道理，有关内公切线的计算问题均在图乙中的中进行。甲乙1.已知⊙与⊙的半径分别为6和10，如果，则两圆的位置关系是；如果，则两圆的位置关系是。2.已知⊙与⊙外切，，⊙的半径为7cm，则⊙的半径为。3.已知⊙与⊙的半径分别为6和8，若，则两圆的位置关系是；若，则两圆的位置关系是；若，则两圆的位置关系是。4.已知两圆的半径是方程的两根，且两圆的圆心距为0.5，则两圆的位置关系是。5.已知半径为3的两等圆相交，圆心距为4cm，则公共弦的长为cm。6.若⊙和⊙的半径分别为5cm和3cm，，则两圆的内公切线长为cm，内公切线与连心线所成锐角的正切值为。7.已知两圆的圆心距为10cm，外公切线长为8cm，则两圆半径之差的绝对值为cm．8.已知圆心距为10的两圆外切，两圆的半径之比为，则较小圆的半径为（）A.2B.4C.6D.89.已知⊙和⊙内切，连心线，⊙的半径为11，则⊙的半径为（）A.5B.17C.5或17D.不能确定10.已知相交两圆的半径分别为4和9，那么圆心距的取值范围是（）A.B.C.D.11.已知⊙A...
