专题5.3平面向量的数量积【考纲解读】内容要求备注ABC平面向量平面向量的数量积√1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【直击考点】题组一常识题1．已知在△ABC中，B是最大内角，AB·BC<0，则△ABC的形状是____________．【解析】设AB与BC的夹角为θ，则AB·BC＝|AB|·|BC|cosθ<0，得cosθ<0，所以cosB＝cos(π－θ)>0，所以B为锐角．又B是三角形的最大内角，所以△ABC为锐角三角形．2．在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则AB·AD＝________．3．已知向量a＝(4，2)，b＝(1，－1)，则向量b在向量a上的投影为______．【解析】 向量a＝(4，2)，b＝(1，－1)，∴向量b在向量a上的投影为＝＝.4．已知力F1和F2的合力为12N，F1为24N，力F2与合力F的夹角为90°，则力F1与F2的夹角的大小为________．【解析】由向量加法的平行四边形法则知，α＝β＝90°，|F|＝12N，|F1|＝24N，所以θ＝60°，所以β＋θ＝150°.1题组二常错题5．在△ABC中，若＝1，＝2，则AB边的长度为________．6．已知AB＝(2，－1)，CD＝(3，3)，则向量AB在CD上的投影为________．【解析】向量AB在CD上的投影为＝＝.题组三常考题7．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝________．【解析】因为cos∠ABC＝＝－，所以∠ABC＝150°.8．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．【解析】由|2a＋b|＝，两边同时平方得4a2＋4a·b＋b2＝7，即|b|2＋2|b|－3＝0，解得|b|＝1或|b|＝－3(舍去)．9．已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，且(a＋b)·b＝|a|，则实数x＝________．【知识清单】考点1平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA�＝a，OB�＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量数量积21．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，||=aaa.4．cosθ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝.4．cosθ＝||||abab＝112222221212ababaabb.(θ为a与b的夹角)考点2向量的夹角与向量的模1.a·a＝|a|2，||=aaa.2．cosθ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)3.a⊥ba1b1＋a2b2＝0.4.|a·b|≤|a||b|.考点3向量数量积的综合应用1.a·a＝|a|2，||=aaa.2．cosθ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)3.a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3【考点深度剖析】这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．【重点难点突破】考点1平面向量数量积的运算【1-1】已知||5,||3,12,abab且则向量a在向量b上的投影等于.【答案】4【解析】 =|a|||cos<,>abbab，而a在b上的投影为-12|a|cos<,>===-43|b|abab.【1-2】已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB�＝(2,4)，AC�＝(1,3)，则AD�·BD�＝.【答案】8【解析】 四边形ABCD是平行四边形，∴AB�＋AD�＝AC�，∴AD�＝AC�－AB�＝(－1，...
