模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合A={y|y=2x,x∈R},B={-1,0,1},则下列结论正确的是()A.A∪B=(0,+∞)B.(∁RA)∪B=(-∞,0]C.(∁RA)∩B={-1,0}D.(∁RA)∩B={1}解析 A={y|y>0},∴∁RA={y|y≤0},∴(∁RA)∩B={-1,0}.答案C2在等差数列{an}中,若a2+a8=12,Sn是数列{an}的前n项和,则S9等于()A.48B.54C.60D.66解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=54.答案B3已知在△ABC中,∠B=135°,∠C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为()A.5√2B.5√3C.2√5D.3√5解析依题意,知三角形的最大边为b.由于∠A=30°,根据正弦定理,得bsinB=asinA,所以b=asinBsinA=5sin135°sin30°=5√2.答案A4已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,则cosC的值为()A.14B.-23C.23D.-14解析 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,∴令a=3k,b=2k,c=4k(k>0),∴cosC=a2+b2-c22ab=9k2+4k2-16k22·3k·2k=-14.1答案D5已知cb>0,则下列不等式中必成立的一个是()A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ad>bcD.ac>bd解析因为c-d.又a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.答案B6设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=()A.8B.7C.6D.5解析 Sk+2-Sk=24,∴ak+1+ak+2=24.∴a1+kd+a1+(k+1)d=24.∴2a1+(2k+1)d=24.又a1=1,d=2,∴k=5.答案D7已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于()A.3B.2C.1D.-2解析因为y=x2-2x+3的顶点为(1,2),所以b=1,c=2.又因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc=2.答案B8函数y=log2(x+1x-1+5)(x>1)的最小值为()A.-3B.3C.4D.-4解析 x>1,∴x-1>0,∴y=log2(x+1x-1+5)=log2(x-1+1x-1+6)≥log2(2+6)=log28=3.当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立.答案B9已知x,y为正实数,且x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是()A.RB.(0,4]2C.[4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)解析原式=(x+y)2xy=x2+2xy+y2xy=xy+yx+2,又x,y>0,∴xy+yx+2≥2√xy·yx+2=4,当且仅当xy=yx,即x=y时,等号成立.答案C10已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组{0≤x≤√2,y≤2,x≤√2y给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(√2,1),则z=⃗OM·⃗OA的最大值为()A.4√2B.3√2C.4D.3解析z=⃗OM·⃗OA=(x,y)·(√2,1)=√2x+y.由{0≤x≤√2,y≤2,x≤√2y画出可行域,如图阴影部分所示.作直线l0:y=-√2x,平移直线l0至l1位置时,z取得最大值,此时l1过点(√2,2),故zmax=√2×√2+2=4.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=√3,∠C=π3,则∠A=.解析由正弦定理,得asinA=csinC⇒sinA=asinCc=√32√3=12,所以∠A=π6.3答案π612若关于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0只有正根,则m的取值范围是.解析设方程的正根为x1,x2,由题意,得{Δ=(m+2)2-4(m+5)≥0,x1+x2=-(m+2)>0,x1x2=m+5>0,解得-51的等比数列,若a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2015+a2016=.解析解方程4x2-8x+3=0得方程的两个根是x1=12,x2=32,因为a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两个根,数列{an}的公比q>1,所以a2013=12,a2014=32,所以q=3.所以a2015+a2016=a2013q2+a2014q2=(a2013+a2014)q2=(12+32)×32=18.答案1815已知a,b,c分别为△ABC的三边,且3a2+3b2-3c2+2ab=0,则tanC=.解析cosC=a2+b2-c22ab=-13,所以sinC=2√23.4所以tanC=sinCcosC=-2√2.答案-2√2三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求数列{an}的通项公式.解设数列{an}的公差为d.由S3=a22,得3a2=a22,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列,得S22=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,...
