计时双基练十四导数与函数的单调性A组基础必做1．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能是()解析由导函数图像可知，f(x)在(－∞，－2]，[0，＋∞)上单调递减，在[－2,0]上单调递增，选A。答案A2．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．R解析函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)。答案A3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为()A．f>f(1)>fB．f(1)>f>fC．f>f(1)>fD．f>f>f(1)解析由f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)知，函数f(x)＝xsinx为偶函数，当x∈时，f′(x)＝sinx＋xcosx>0知，函数f(x)＝xsinx在上单调递增，由>>1>>0知，f>f(1)>f，即f>f(1)>f，故选A。答案A4．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－。因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立。因为x>1，所以0<<1，所以k≥1。故选D。答案D5．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1对任意x1，x2∈R满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析由题意知，函数f(x)是R上的单调增函数，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，即Δ＝4－12m≤0，故m≥。答案D6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析当x>0时，令F(x)＝时，则F′(x)＝<0，∴当x>0时，F(x)＝为减函数。 f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0。在区间(0,1)上，F(x)>0；在(1，＋∞)上，F(x)<0，即当0
0；当x>1时，f(x)<0。又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1,0)时，f(x)<0。综上可知，f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)。故选A。答案A7．(2015·江西九校联考)已知函数f(x)＝mx3＋3(m－1)·x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝________。解析易知f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x＝3x(mx＋2m－2)。令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝，又函数f(x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，所以＝4，解得m＝。答案8．函数f(x)＝的单调递增区间是________。解析由导函数f′(x)＝＝>0，得cosx>－，所以2kπ－0，解得a>－。所以a的取值范围是。答案10．已知函数f(x)＝ex－ax－1。(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由。解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna。因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)。(2) f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立。∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立。又 －20)。(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间。解(1)函数f(x)的定义域为R。由已知得f′(x)＝－a。 函数y＝f(x)的导函数是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)，即－a＝－＋a，解得a＝。(2)由(1)f′(x)＝－a＝1－－a。①当a≥1时，f′(x)<0恒成立，∴a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减。②当00得(1－a)(ex＋1)>1，即ex>－1＋，解得x>ln；由f′(x)<0得(1－a)(ex＋1)<1，即ex<...
