【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第4节平面向量的应用举例课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.[解析]如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，∴AE·BD＝1×(－2)＋2×2＝2.[答案]22．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(m，m＋1)，若AB∥OC，则实数m的值为________．[解析]依题意得，AB＝(3,1)，由AB∥OC，得3(m＋1)－m＝0，∴m＝－.[答案]－3．(2014·徐州调研)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝________.[解析] a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.[答案]54．(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则PM·PN的最大值为________．[解析]根据题意得：M(2,0)，N(0,2)．设P(2cosθ，2sinθ)，则PM＝(2－2cosθ，－2sinθ)，PN＝(－2cosθ，2－2sinθ)，所以PM·PN＝－4cosθ＋4cos2θ－4sinθ＋4sin2θ＝4－4(sinθ＋cosθ)＝4－4sin，因为－1≤sin≤1，所以4－4≤PM·PN≤4＋4，所以PM·PN的最大值为4＋4.[答案]4＋45．(2014·宿迁调研)已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹方程是________．[解析]PA＝(－2－x，－y)，PB＝(－x，－y)，则PA·PB＝(－2－x)(－x)＋(－y)2＝x2，∴y2＝－2x.[答案]y2＝－2x6．(2014·常州质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为原点，则正实数a的值为________．[解析]由|OA＋OB|＝|OA－OB|，知OA⊥OB，∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，∴＝，解得a＝2(a>0)．[答案]27．(2014·南京、盐城二模)已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角大小为________．[解析]令OA＝OA1，OB＝OB1，因为|OA|＝1，|OB|＝2，所以|OA1|＝|OB1|，由OC＝OA＋OB＝OA1＋OB1，得四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对角，因此∠AOC＝60°.[答案]60°8．如图443，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，AD＝DC，AE＝EB.若BD·AC＝－，则CE·AB＝________.图443[解析]建立如图所示的直角坐标系，则BD·AC＝·(1，－a)＝－＝－，解得a＝2，所以CE＝，AB＝(－1，－2)，所以CE·AB＝－.[答案]－二、解答题9．(2014·苏北四市质检)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1)．(1)若a⊥b，求的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．[解](1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以＝＝.(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)，可得|a－b|＝＝＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0，①又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，②由①②可解得所以sin＝(sinθ＋cosθ)＝＝.10．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(sin2x,1－cos2x)，c＝(0,1)，x∈(0，π)．(1)向量a，b是否共线？并说明理由；(2)求函数f(x)＝|b|－(a＋b)·c的最大值．[解](1)b＝(sin2x,1－cos2x)＝(2sinxcosx,2sin2x)＝2sinx(cosx，sinx)＝2sinx·a，且|a|＝1，即a≠0.∴a与b共线．(2)f(x)＝|b|－(a＋b)·c＝2sinx－(cosx＋sin2x,1－cos2x＋sinx)·(0,1)＝2sinx－1＋cos2x－sinx＝sinx－1＋1－2sin2x＝－2sin2x＋sinx＝－22＋.∴当sinx＝时，f(x)有最大值.[B级能力提升练]一、填空题1．(2014·南京、盐城二模)在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为________．[解析]因为DC＝2BD，所以AD＝AB＋AC.平方得：AD2＝AB2＋AC2＋|AB|·|AC|cosθ，θ∈(0，π)，即k2＝×32＋×12＋×3×1×cosθ＝＋cosθ∈，因为k＞0，所以k∈.[答案]2．设O是△ABC外接圆的圆心，AO＝xAB＋yAC，且|AB|＝6，|AC|＝8,4x＋y＝2，则AB·AC＝________.[解析]依题意AO＝xAB＋yAC＝2x·＋·(2AC)，设AE＝，AF＝2AC，则E是AB中点，C是AF中点，AO＝2x·AE＋·AF.又因为4x＋y＝2，所以2x＋＝1，由三点共线的充要条件知E、O、F三点共线．由题意...
