（新课标）高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6-5 数学归纳法课时规范练 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

6-5数学归纳法课时规范练(授课提示：对应学生用书第285页)A组基础对点练1．(2018·商丘期末)用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增加的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(4k＋1)．解析：从“k到k＋1”左边需增加的代数式是：(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)－(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·[(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)－(k＋1)]＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)(4k＋1)．2．(2018·杭州期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1,2Sn＝an·an＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3以及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2－an，数列{bn}的前n项和为Tn.①求Tn；②证明：＋＋…＋≤2Tn(n∈N*)．解析：(1) a1＝1,2Sn＝an·an＋1，∴2a1＝a1·a2，即a2＝2，∴2(a1＋a2)＝a2·a3，即a3＝3.猜想an＝n，证明如下：①当n＝1时，显然成立，②假设当n＝k时成立，即ak＝k，则Sk＝.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝k＋1，故n＝k＋1时也成立，由①②可得an＝n对于n∈N*都成立，∴数列{an}的通项公式为an＝n.(2)易知bn＝n，①Tn＝＝1－.②由(1)可知Sn＝，∴＝＝2，∴＋＋…＋＝2＝2.要证明＋＋…＋≤2Tn，只要证明2≤2，只要证≥，只要证n＋1≤2n，①当n＝1时，不等式显然成立，②假设当n＝k时，不等式成立，即k＋1≤2k，那么当n＝k＋1时，k＋2＝k＋1＋1≤2k＋1≤2k＋1，即当n＝k＋1时不等式成立，由①②可得n＋1≤2n对于n∈N*都成立，故＋＋…＋≤2Tn(n∈N*)．3．函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：0，f(x)在(－1，a2－2a)上是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)上是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②当a＝2时，f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0成立，f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，0)上是增函数；若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)上是减函数；若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)上是增函数．(2)证明：由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，即ln(x＋1)>(x>0)．又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0,3)上是减函数．当x∈(0,3)时，f(x)ln>＝.ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln<＝.即当n＝k＋1时，有