模块过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x=()A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)解析由b=12x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).答案B2.已知直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若a=(1,1,1),n=(-1,0,1),则直线l与平面α的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行解析 a·n=-1+1=0,∴a⊥n,∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行.故选D.答案D3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于()A.0B.2C.1D.±2解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为(x-a2)2+(y-1)2=a24,圆心坐标为(a2,1),圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,连心线所在直线的斜率为1a2-2=2a-4,中点坐标为(a+44,12),由题意可得{a24=1,2a-4·1=-1,a+44-12-1=0,解得a=2.答案B4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=12ED,设⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,则⃗OE=()A.16a+16b+13cB.13a+13b+13cC.16a+16b-13cD.16a+16b+23c解析 CE=12ED,∴⃗CE=13⃗CD=13(⃗CA+⃗AD)=13(⃗CA+12⃗AB)=13⃗CA+16⃗AB,∴⃗OE=⃗OC+⃗CE=⃗OC+13⃗CA+16⃗AB=⃗OC+13(⃗OA-⃗OC)+16(⃗OB-⃗OA)=16⃗OA+16⃗OB+23⃗OC=16a+16b+23c.答案D5.若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33解析双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2b+a×0|√a2+b2=2bc=√3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=√c2a2=√4=2.答案A6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A.√1313B.2√1313C.√2613D.2√2613解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,则A1(√3,1,2),A(√3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E(0,1,32),⃗A1E=(-√3,0,-12),⃗AC1=(-√3,-1,2),设异面直线A1E与AC1所成角为θ,则cosθ=|⃗A1E·⃗AC1||⃗A1E|·|⃗AC1|=2√134·√8=√2613.∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为√2613.答案C7.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且⃗PF1·⃗PF2=0,则|⃗PF1+⃗PF2|=()A.2√5B.√5C.2√10D.√10解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-√10,0),F2(√10,0).设点P(x,y),则⃗PF1=(-√10-x,-y),⃗PF2=(√10-x,-y). ⃗PF1·⃗PF2=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴|⃗PF1+⃗PF2|=√|⃗PF1|2+|⃗PF2|2+2⃗PF1·⃗PF2=√2(x2+y2)+20=2√10.答案C8.(2020·福建厦门双十中学高三期中)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA||PB|=√2,当P,A,B不共线时,三角形PAB面积的最大值是()A.2√2B.√2C.2√23D.√23解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y), |PA||PB|=√2,∴√(x+1)2+y2√(x-1)2+y2=√2,两边平方并整理,得x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12×2×2√2=2√2.答案A二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是()A.(2,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(0,-2)解析设C(x,y),AB的垂直平分线为y=-x,△ABC的外心为欧拉线方程为x-y+2=0与直线y=-x的交点,即M(-1,1),∴|MC|=|MA|=√10,∴(x+1)2+(y-1)2=10,①由A(-4,0),B(0,4),C(x,y),得△ABC重心为(x-43,y+43),代入欧拉线方程x-y+2=0,得x-y-2=0,②由①②可得x=2,y=0或x=0,y=-2.答案AD10.如图,在长方体AB...
