利用线面平行性质定理找交线题目中有线面平行,通常会用到其性质定理.用好线面平行性质定理的关键是:“构造平面找交线”.即(1)构造(找到或作出)过已知直线的平面,题中没平面,自己作出;(2)该平面与已知平面相交.题中有平面,找到即可.一、构造平面,画两相交平面的交线例1如图1,三棱锥中,分别是的中点,过作平行于的平面分别交于.试确定点的位置.解:平面,平面,面面,.在中,,是中点,是中点.同理,,是的中点.综上,分别是的中点.评注:过且平行于的平面,看似给出,实际上仍画不出,因为不知道的位置.找到面(面,面面),利用线面平行的性质定理,证得交线,确定点的位置.两相交平面的交线可通过平行线画出,这是对公理的一个补充说明,有助于加深对公理的理解.公理说明,两平面相交,有且只有一条交线.至于交线怎么画,公理没说.两平面相交只见到一个公共点,其交线的画法:()利用公理1再找一个交点;()利用线面平行的性质定理,过该公共点作平行线.例2如图2,四棱锥中,是平行四边形.画出面与面的交线.解:是面与面的公共点,面与面必相交,设面面,则.是平行四边形,.又面,面,面.又面,面面,.在面内,过点作直线,则直线就是面与面的交线.评注:该题中没有线面平行,但可找到,再证面,找到平面,用其性质定理,画出交线.使用线面平行的性质定理时,要把条件写全,性质定理与其判定定理往往一起用.有线面平行时可用,没有线面平行,自己创造条件用.该题是先设再证后画,当然也可先画后证.二、构造平面,证明两直线平行例3如图3,已知,,.求证:.证明:设且,且.直线与点确定的平面交于.,,,.直线与点确定的平面交于.,,,,.,,,.,,,.,.评注:线面平行的性质定理,是证明平面内一直线与平面外一直线平行的判定定理和存在性依据.因此,当一条直线与一平面平行时,总可在平面内找到一直线与已知直线平行,但这条直线是通过两平面的交线来找到的,而不是作已知直线的平行线,这也是该处常见的错误.在初中的平面几何里,在同一平面内可随便作一直线的平行线;在立体几何里,一直线的平行线可任意作,但想在某个平面内作一直线的平行线,需首先证明它的存在性,然后再作.其实,完成它的存在性证明,也就是完成线面平行性质定理的使用过程.利用线面平行的性质定理,通过“构造平面找交线”,可画两相交平面的交线,可证两直线平行,而且能加深对公理的理解.练习:如图4,已知三棱锥,分别是的中点.画出面与面的交线.