《能力提升专题一：代数几何综合题》Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BFAD，EM切⊙O于M。⑴△ADC∽△EBA;⑵AC2＝BC·CE；⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。解:⑴ 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， BFAD，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB⑵过A作AH⊥BC于H(如图) A是BDC中点，∴HC＝HB＝BC， ∠CAE＝900，∴AC2＝CH·CE＝BC·CE⑶ A是BDC中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM2① AC2＝BC·CE，BC·CE＝8②①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17 EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝ △CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC，∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.【例2】（2005，自贡）如图2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴，D为垂足．（1）求点A、B的坐标和AD的长；（2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。解：（1）在y=2x+2中分别令x=0，y=0．得A（l，0），B（0，2）．易得△ACD≌△BAO，所以AD=OB=2．（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）．设过过B、A、C三点的抛物线为2yaxbxc所以56017269312aabccbabcc，解得所以2517266yxx点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．【例3】（2005，重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时，△APQ的面积为524个平方单位？解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b由题意，得b=680kb解得346kb所以，直线AB的解析式为y＝－43x＋6．（2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10所以AP＝t，AQ＝10－2t1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以6t＝10210t解得t＝1130(秒)2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以10t＝6210t解得t＝1350(秒)（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝ABBO＝54在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·54＝8－58t所以，S△APQ＝21AP·QE＝21t·(8－58t)＝－254t＋4t＝524解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作PE⊥AB．【例4】（2005，南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x． PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．故ACPCABPE，即.548,10108xPExPE∴⊿PBC面积＝.5122421xBCPE又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝.51224x即yx52448，x的取值范围是0＜x＜10．（2）这个判断是正确的．理由：由（1）可得，⊿PAD面积＝.512x⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形...
