四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试题理（扫描版）雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)123456789101112BDDCABABBCCB二、填空题（每小题5分，共20分）13.414.4015.27个16.三、解答题17.解：（1）设等差数列{}的公差是．由已知...........2分，得，.........4分数列{}的通项公式为……………6分（2）由数列{}是首项为1，公比为的等比数列，，，………………9分………………10分………………11分当………………12分18.解(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100……………2分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得.……………4分因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．……………6分(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.……………7分由题意～，从而X的分布列为X0123P27642764964164……………10分E(X)＝np＝3×14＝34，D(X)＝np(1－p)＝3×14×34＝916.……………12分19．（1）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．……………6分（2）解：方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH．由（1）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角A﹣PC﹣D的平面角，所以∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．……………12分方法二：（2）由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由，知取y=1，得.又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是．解得t=，即AP=．……………12分20.解：（1）由已知可得解得，………2分故椭圆的标准方程为．………4分（2）设，，联立方程消去得．………5分当，即时，，．………6分所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号.则:………………………8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．………10分所以当，即时，取得最大值．………11分综上的最大值为，此时直线:或或………12分21．解：（1）由题可知的定义域为，因为，所以又因为直线的斜率为，∴，解得………3分（2）由（1）知：，当时，，所以在上单调递增；………4分当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.………5分综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.………6分（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；………7分当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；………8分当时，①若，即时，在上单调递减，∵，∴在上没有零点；②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，若，即时，在上没有零点；若，即时，在上有一个零点；若，即时，由得，此时，在上有一个零点；由得，此时，在上有两个零点；③若，即时，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点.………11分综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点.………12分选考题：22、解:(1)由消去参数，得，即曲线的普通方程为……………2分由，得，(*)将代入(*)，化简得，……………4分所以直线的倾斜角为……………5分(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)，即(为参数)，………………7分代入并化简，得，，设两点对应的参数分别为，则，，所以……………10分23解:(1)(ⅰ)当时，原不等式可化为，解得………………2分(ⅱ)当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；………………4分(ⅲ)当时，原不等式可化为，解得……………5分综上，.………………6分(2)证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证.因为，所以，所以成立，所以原不等式成立.……………10分
