九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版知识精讲试卷VIP专享VIP免费

九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理（一）弦切角：1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。判断下列图形中的∠BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上”的条件；图B中，缺少“一边和圆相交”的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切”的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件。所以，图中的∠BAC都不是弦切角。2.分类（以圆心的位置分）：（1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。3.弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。（二）相交弦定理圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图1（1），在⊙O中，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD。（三）割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图1（3），有PA·PB＝PC·PD。（四）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图1（4），有PA2＝PC·PD。当点P从圆内运动到圆上、圆外时（从图1（1）到图1（3）），总有PA·PB＝PC·PD，图1（2）中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB＝PC·PD，此时PA＝PB，所以PA2＝PC·PD。当割线PDC也变为切线PC时，总有PA·PB＝PC·PD，因为PC＝PD，PA＝PB，所以PA2＝PC2，即PA＝PC，此为切线长定理。当图1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，根据相交弦定理，同样有PA·PB＝PC·PD，又根据垂径定理，有PA＝PB，所以有PA2＝PC·PD。在上面的图形变化中，点P的位置和AB、CD的位置在不断地变化，而变化中有不变量，即PA·PB＝PC·PD的关系是不变的。我们应抓住图形的本质特征，我们把相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理。二.重点、难点：重点是弦切角及其应用，相交弦、割线、切割线定理及其应用。难点是灵活应用三个定理证明等积线段问题，及三个定理之间的内在联系。【例题分析】例1.如图2，已知PA与⊙O切于点A，PO交⊙O于点B，AB＝BP，求∠P的度数。解：连结OA PA切⊙O于点A例2.如图3（1），已知AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，CD切⊙O于D，DE⊥AB于E。求证：∠1＝∠2分析：要证∠1＝∠2，能否直接应用定理去证？或者转化，找中间量，寻找第三角。证法一：连结OD，如图3（2） CD切⊙O于D在⊙O中，OD＝OB证法二：连结AD，如图3（3） AB是⊙O的直径又 CD切⊙O于D证法三：延长DE交⊙O于F，连结BF，如图3（4） AB是⊙O的直径，且AB⊥DF∴DB＝BF则∠1＝∠F CD是⊙O的切线∴∠2＝∠F（弦切角定理）∴∠1＝∠2证法四：过点B作⊙O的切线，交CD于M，如图3（5） AB是⊙O的直径∴AB⊥BM（切线的性质）又DE⊥AB∴DE∥MB∴∠1＝∠DBM又 CD切⊙O于D∴∠2＝∠MBD（弦切角定理推论）∴∠1＝∠2证法五：连结OD，过B作BN⊥CD于N，如图3（6） CD切⊙O于D∴OD⊥CD（切线的性质）∴OD∥BN则∠ODB＝∠DBN在⊙O中，OD＝OB∴∠ODB＝∠OBD∴∠DBN＝∠OBD∴∠1＝∠2（等角的余角相等）习题：由此题的各种解法可以得出圆中哪些常用的辅助线？如图3（7），学习过程中要不断总结经验，进行知识的归纳总结，从而得到提高。例3.已知AB是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠TAB＝110°，点C在圆周上，但与A、B两点不重合，求∠ACB的度数。分析：本题应分为两种情况，如图4（1）所示：所以，∠ACB的度数等于70°或110°例4.如图5（1），已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°。（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD＝AC·BC，为什么？分析：（1）由弦切角定理可得：∠ACM＝∠B又AB是直径，∴∠B＝90°－∠A而∠A已知，故∠ACM可...