3．2对数与对数函数3．2.1对数及其运算(一)【课标要求】1．理解对数的概念．2．掌握对数的基本性质．3．掌握对数式与指数式的相互转化．【核心扫描】1．指数式与对数式的相互转化．(重点)2．对数性质与对数恒等式．(重点、难点)自学导引1．对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做，N叫作.2．常用对数通常将以10为底的对数叫做，log10N可简记为.x＝logaN对数的底数真数常用对数LgN4．对数的性质(1)1的对数为；(2)底的对数为；(3)零和负数.01没有对数想一想：对数式logaN中真数N有何要求？为什么？提示依对数定义知，若ax＝N，则x＝logaN，对于a>0，无论x取何实数，总有ax>0，即N>0.名师点睛对数概念的理解(1)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(2)对数由指数而来，两式底数相同，在指数式ax＝N中若已知a、N的值，求幂指数x的值，便是对数运算x＝logaN.对数式与指数式的变化为：(3)对数记号logaN中，只有在a>0且a≠1，N>0时，才有意义．题型一对数的概念【例1】求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.[思路探索]用对数式中底数，真数的限制条件．解(1)由题意有x－10>0，}∴x>10，即为所求．(2)由题意有x＋2>0，x－1>0且x－1≠1，即x>－2，x>1且x≠2，∴x>1且x≠2.(3)由题意有x－12>0，x＋1>0且x＋1≠1，解得x>－1且x≠0，x≠1.规律方法1.对数式成立的条件：(1)真数大于0，(2)底数大于0且不等于1.2．求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组解出即可．【训练1】求下列各式中x的范围．(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．解(1)由题意知x＋2>02x－1>0且2x－1≠1，∴x>12且x≠1.(2)由－3x＋8>0x2＋1>0x2＋1≠1，∴x<83且x≠0.题型二对数式与指数式的互化【例2】将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：[思路探索]属于指数式与对数式的关系问题．规律方法①指数和对数运算是一对互逆运算，在利用ax＝N⇔x＝logaN进行转化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．②对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出另外一个．解(1)x＝(12)－2＝4；(2)x2＝9，又因为x>0且x≠1，所以x＝3；(3)27x＝3，所以33x＝3，所以3x＝1，故x＝13.审题指导本题考查了幂的运算性质，对数恒等式等．【解题流程】按幂的加减乘等运算，化简―→对数恒等式―→求值【题后反思】将对数式化为指数式求值时应将真数化为以底数为底的幂的形式．在应用对数恒等式时，要注意式子的结构特点．解(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1000.(3)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1，∴x＝1.误区警示忽视对数式中底数与真数的条件而出错【示例】已知logx116＝－2，求x.[错解]由logx116＝－2，∴x－2＝116，即x2＝16，∴x＝±4.思维突破对数式转化为指数式求值时，要注意底数的取值应为大于0且不等于1.[正解]由logx116＝－2，∴x－2＝116，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.追本溯源对数式logaN中a>0且a≠1，在求值时，虽然化为指数形式求出的值可能为正，也可能为负，应注意舍去a<0、a＝1的情况．
