3．3幂函数【课标要求】1．掌握幂函数的概念．2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数y＝xα的图象与性质．3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．【核心扫描】1．幂函数的图象和性质．(重点)2．幂函数性质的应用．(难点)自学导引1．幂函数的定义形如的函数称为幂函数，其中α为，x是．2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在区间都有定义，并且图象都通过点．y＝xα常数自变量(0，＋∞)(1,1)(2)若α>0时，幂函数图象过点，且在(0，＋∞)内；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象．(3)若α<0，则幂函数图象过点，并且在(0，＋∞)内单调，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．(0,0)和(1,1)单调递增下凸(1,1)递减(4)当α为奇数时，幂函数图象关于对称；当α为偶数时，幂函数图象关于对称．(5)幂函数在第象限无图象．原点y轴四试一试：在同一坐标系内画出y＝x－3，y＝x－2，y＝x－1的图象，并观察图象，找出它们之间的关系．提示图象如图可知：图象都过点(1,1)，在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．想一想：二次函数y＝2x2＋1是幂函数吗？提示不是，幂函数的形式为y＝xα.名师点睛1．幂函数y＝xα的图象性质当指数α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝xα＝x0＝1是直线[不包括(0,1)点]．除上述特例外，幂函数的图象都是曲线，如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数α＝qpα<00<α<1α>1q是偶数p是奇数q是奇数p是偶数在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．2．幂函数的奇偶性令α＝qp(其中p，q互质，p和q∈N*)．若p是奇数，则的奇偶性取决于q是奇数还是偶数．当q是奇数时，是奇函数；当q是偶数时，是偶函数，若p是偶数，则q必为奇数，此时，既不是奇函数也不是偶函数.题型一幂函数的概念【例1】判断下列函数哪些是幂函数，并求出幂函数的定义域．[思路探索]属于幂函数的定义问题．解(1)是指数函数，不是幂函数；(2)是幂函数， y＝1x2＝x－2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(3)不是幂函数；规律方法幂函数中，幂的底数为自变量，幂的指数为常数，幂前面的系数为1.幂函数的定义域是使xα有意义的所有实数x的集合．【训练1】幂函数f(x)的图象过点(4，12)，则幂函数的解析式为________________．解析设幂函数f(x)＝xα，又过点(4，12)，∴4α＝12，∴α＝－12.[思路探索]利用幂函数的定义及性质求解．规律方法由幂函数的概念，求出m的值，结合函数的单调性对m进行验证取舍．解由题意得m3－m＋1＝1，所以m＝0或m＝－1或m＝1.又f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，所以7＋3m－2m2>0，且7＋3m－2m2为偶数．当m＝0时，7＋3m－2m2＝7，不符合题意，舍去；当m＝1时，7＋3m－2m2＝8，此时f(x)＝x8，符合题意；当m＝－1时，7＋3m－2m2＝2，此时f(x)＝x2，符合题意．综上，m＝1或m＝－1.审题指导本题考查了幂函数的单调性，以及“中间量”比较大小．【解题流程】①②③确定幂函数及单调性―→比较大小④确定中间量―→与中间量比较大小―→确定大小关系【题后反思】比较大小类题目，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进行分组，常数0和1是常用的中介值．解(1) 幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增函数，又23>35，∴(23)0.5>(25)0.5.(2) 幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减函数，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.误区警示比较大小时忽视幂函数的单调区间而出错错因分析：忽略了函数在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但在整个定义域上并不是减函数．思维突破幂函数在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数．[正解]因为在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数．x>0时，y>0；x<0时，y<0，原不等式可以化为x－3>1＋2x，1＋2x>0，①或x－3>1＋2x，x－3<0，②或1＋2x>0，x－3<0，③①无解；②的解集为{x|x<－4}；...
