2.1.3函数的单调性【课标要求】1.理.解.函数单调性的定义.2.运用..单调性的定义判断函数的单调性.求函数的单调区间.3.会.利用函数的单调性求.函数的最值.【核心扫描】1.函数单调性的概念.(重点、难点)2.用定义证明函数单调性.(难点)3.单调性的应用、函数单调区间的求法.(重点)自学导引1.增函数与减函数一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A.如果取区间M中的,改变量Δx=x2-x1>0,则当时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,当时,那么就称函数y=f(x)在区间M上是减函数.任意两个值x1,x2Δy=f(x2)-f(x1)>0Δy=f(x2)-f(x1)<02.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是或是,就说这个函数在这个区间M上具有单调性,区间M称为.增函数减函数单调区间试一试:画出反比例函数y=1x的图象,结合图象说明函数的单调性.提示如图,函数y=1x的图象,则函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减.想一想:对函数y=f(x),在定义域上存在x1<x2,且f(x1)<f(x2),能否说函数y=f(x)是增函数?提示不能,在定义域上存在两个数x1,x2;并不保证任意两个数都满足,不符合单调函数的定义.名师点睛1.函数单调性的理解(1)单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,即单调性是函数的一个局部性质.有的函数无单调性.(2)定义中的x1、x2有三个特征,三者缺一不可.一是任意性,即“任意取x1、x2”“任意”二字绝不能丢掉;证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x10.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.规律方法证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义.其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性);(2)作差变形(目的是便于判断符号);(3)判断差的符号;(4)写出结论.【训练1】证明函数f(x)=-x在定义域上是减函数.证明f(x)=-x的定义域为[0,+∞),设0≤x1<x2,则x2-x1>0,且f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)=x1-x2=x1-x2x1+x2x1+x2=x1-x2x1+x2, x1-x2<0,x1+x2>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴f(x)=-x在它的定义域[0,+∞)上是减函数.题型二求函数的单调区间【例2】如图,两图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调递增区间.[思路探索]属于单调性的几何意义的应用.解由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调递增区间,即寻找图象呈上升趋势的一段图象.由图(1)知,在区间[1,4)和区间[4,6]内,y=f(x)是单调递增的;由图(2)知,在区间[-32π,0]和区间[32π,3π]内,y=g(x)是单调递增的.规律方法根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象得到单调区间,由图象的上升或下降趋势,确定出是递增还是递减的区间.【训练2】求函数f(x)=|x|(1-x)的单调区间.解f(x)=|x|(1-x)=-x2+x,x≥0x2-x,...