2.2.3待定系数法【课标要求】1．了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．2．掌握待定系数法的特征及应用．【核心扫描】1．用待定系数法求函数解析式．(重点、难点)2．由已知条件，正确列出含有待定系数的等式．(难点)自学导引待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道，先把所求函数设为，其中系数待定，然后再根据，求出这些待定系数．这种通过求来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法．这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数试一试：怎样用待定系数法求过(0,1)，(2,3)两点的一次函数的解析式？并归纳用待定系数法求解析式的步骤．提示设一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，把点(0,1)，(2,3)代入解析式得b＝1，2k＋b＝3，解得k＝1，b＝1.故一次函数解析式为y＝x＋1.用待定系数法求解析式的基本步骤为：①设出含有待定系数的问题的解析式；②由恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；③解方程组，求出待定系数．1．待定系数法的理解待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，不仅可以用来求函数的解析式，而且还常用来求某一数学表达式中的待定参数的值．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)⇔g(x)的等价条件：对于一个任意的a值，都有f(a)⇔g(a)，然后转化为两个多项式各同类项的系数对应相等．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)．(2)一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)．(3)反比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准形式；②顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标.题型一求一次函数解析式【例1】设一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋9，求f(x)的解析式．[思路探索]属于一次函数解析式问题．解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝a·f(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.由f[f(x)]＝4x＋9，得a2x＋ab＋b＝4x＋9，∴a2＝4，ab＋b＝9，解得a＝2，b＝3，或a＝－2，b＝－9.∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.规律方法设出一次函数解析式，由等量关系列式求解．【训练1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋17，则a＝2b＋5a＝17，∴a＝2，b＝7，即f(x)＝2x＋7.题型二求二次函数解析式【例2】已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)、B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式．[思路探索]设出二次函数的解析式，用待定系数法求解．解法一设二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得－5＝c0＝25a＋5b＋c－b2a＝2，解得a＝1b＝－4c＝－5.∴所求函数解析式为f(x)＝x2－4x－5.法二设二次函数f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，得(0，－5)(5,0)，代入上式得－5＝4a＋k0＝9a＋k解得a＝1k＝－9∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－2)2－9，即f(x)＝x2－4x－5，法三 二次函数过点(5,0)，且对称轴为x＝2，∴二次函数与x轴另一交点为(－1,0)，设二次函数为f(x)＝a(x－5)(x＋1)(a≠0)，将(0，－5)代入得a＝1，∴f(x)＝x2－4x－5.规律方法用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式．【训练2】求满足下列条件的二次函数的解析式．(1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点；(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上．解(1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定．根据已知条件得：9a＋3b＋c＝0c＝－34a－2b＋c＝5，解得a＝1b＝－2c＝－3，因此所求函数为y＝x2－2x－3.(2)设所求函数为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定．根据已知条件得：a(2－4)2＋...
