概率论与数理统计第六章VIP免费

第六章参数估计参数的点估计估计量的评选标准正态总体参数的区间估计6.1参数的点估计一、参数估计的概念问题的提出：已知总体X的分布函数F(x;θ1,θ2,…,θk)，其中θ1,θ2,…,θk是未知参数，现从该总体中随机地抽样，得到一个样X1,X2,…,Xn，再依据该样本对参数θ1,θ2,…,θk作出估计,或者估计参数的某个已知函数。点估计：用某个函数值作为总体未知函数的估计值区间估计：对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值。由于),,,(ˆ21nixxx现用它来估计未知参数，故称这种估计为点估计。是实数域上的一个点，),,,(ˆˆ21niiXXX作为参数θi的估计，称),,,(ˆˆ21niiXXX为参数θi的估计量。在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称估计，记为iˆ样本(X1,X2,…,Xn)的一组取值(x1,x2,…,xn)称为样本观察值，将其代入估计量iˆ，得到数值),,,(ˆˆ21niixxx称为参数θi的估计值。点估计：由总体的样本(X1,X2,…,Xn)对每一个未知参数θi(i=1,2,…,k)构造统计量点估计的经典方法是：(1)矩估计法(2)极大似然估计法二、矩估计法(简称“矩法”)英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出1、矩法的基本思想：以样本原点矩作为相应的总体同阶矩E(Xk)的估计；以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。11nkiiXn2、矩法的步骤：设总体X的分布为F(x;θ1,θ2,…,θk)，k个参数θ1,θ2,…,θk待估计，(X1,X2,…,Xn)是一个样本。(1)计算总体分布的i阶原点矩E(Xi)=μi(θ1,θ2,…,θk)，i=1,2,…,k，(计算到k阶矩为止，k个参数)；(2)列方程112122221211211(,,,)()1(,,,)()1(,,,)()nkjjnkjjnkkkkkjjEXXXnEXXXnEXXXn从中解出方程组的解，记为kˆˆˆ21，，，则kˆˆˆ21，，，分别为参数θ1,θ2,…,θk的矩估计。例6.1设总体X的均值为μ，方差为σ2，均未知。(X1,X2,…,Xn)是总体的一个样本，求μ和σ2的矩估计。解12222211()1()()()niiniiEXXnEXDXEXXn解得矩法估计量为XXnnii11ˆniiniiniiXXnXXnXn122122122)(111ˆ注：niiXXn12)(1niiiXXXXn122)2(1niniiniiXnXXnXn1211212112112121XXnXXnniinii2121XXnnii总体均值与方差的矩估计量表达式不因不同的总体分布而异例6.2设总体X~P(λ)，求λ的矩估计。解XXnXEnii11)(Xˆ例6.3设(X1,X2,…,Xn)来自X的一个样本，且其它01),,(~bxaabbaxfX求a,b的矩估计。解X~U(a,b)2)(baXE12)()(2abXD222)(12)()(2)(EXabXEXbaXEniiniiXXnXXnabXba122122)(1112)(2解得矩估计为2ˆ3aXB2ˆ3bXB2211()niiBXXn2阶中心矩矩法估计的优点：计算简单；矩法估计的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的解；(2)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；(通常规定，在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩)如例6.2中，若不是用1阶矩，而是用2阶矩niiXnXEXXDXE122221)()()()(niiniiXXnXXn12212)(11ˆ与不同Xˆ(3)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有解。如xxxxfX0)(~2)lnlnlim()(2xdxxdxxxdxxxfEXx先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.二、极大(最大)似然估计法(R.A.Fisher费歇)1、极大(最大)似然估计法的基本思想一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|)。若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|)达到最大的那一个。这就是极大似然思想。使得取该样本值发生的可能性最大。ˆ由样本的具体取值，选择参数...