线面垂直与面面垂直典型例题VIP专享VIP免费

线面垂直与面面垂直基础要点1、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（B）A、B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确2、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC，垂足为H，则H一定在（B）A、直线AC上B、直线AB上C、直线BC上D、△ABC的内部3、如图示，平面⊥平面，与两平面所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（A）A、2:1B、3:1C、3:2D、4:34、如图示，直三棱柱中，,DC上有一动点P，则△周长的最小值是5.已知长方体中，,若棱AB上存在点P，使得,则棱AD长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱线面垂直线线垂直面面垂直B`A`BAABCD1B1CB1C1D1A1DCBAPC，AC，AB的中点.已知.求证：(1)Error:Referencesourcenotfound；(2)Error:Referencesourcenotfound.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2.(2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.证明：（1）在三棱柱中，.(2)取AB的中点G，连接EG，FG、分别为、的中点,,,则四边形为平行四边形，.3．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证ACBC．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC内作PCAD，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，AD平面PAC，且PCAD，所以PBCAD平面．又因为BC平面PBC，于是有BCAD①．另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA．由①②及APAAD，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以ACBC．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．4.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，90BSC，60ASBASC，若截取aSCSBSA(1)求证：平面ABC平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离．分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明： aSCSBSA，又60ASBASC，∴ASB和ASC都是等边三角形，∴aACAB，取BC的中点H，连结AH，∴BCAH．在BSCRt中，aCSBS，∴BCSH，aBC2，∴2)22(222222aaaCHACAH，∴222aSH．在SHA中，∴222aAH，222aSH，22aSA，∴222HASHSA，∴SHAH，∴AH平面SBC． AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．或： ABACSA，∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，∴AH平面BSC． AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．(2)解：由前所证：AHSH，BCSH，∴SH平面ABC，∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，aBCSH222，∴点S到平面ABC的距离为a22．5、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为的菱形，，M是PB中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面PAB平面CDM7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。DCBASGEFMDCBAP(1)求证：AE//平面BCD；(2)求证：平面BED平面BCD题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱中，，E为上使的点，平面交于F，交的延长线于G，求：（1）异面直线AD与所成的角的大小（2）二面角的正弦值2.如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大...