华东师大版）八年级数学因式分解——十字相乘法与分组分解法学习要求】1.理解十字相乘法与分组分解法；2.会运用十字相乘法与分组分解法分解因式。知识内容】1.十字相乘法分解因式：（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a和b,例如，为了分解因式x2+px+q，就需要找到满足下列条件的a、b；fa+b=p[ab=q（2）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax2+bx+c中，当a丰1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2x2-7x+6，首先要把二次项系数2分成1X2,常数项6分成（-2）x（-3），写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1x（-3）+2x（-2）=-7，正好是一次项（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解如果是形如2a2b2-lab+6的形式，则把ab看作一个整体，相当于x,如果是形如2x2-7xy+6y2，则先写成2x2-7y•x+6y2，把y看作已知数，写成十字相乘的形式例1.分解因式：1一一X2解：所以2x2-7xy+6y2=(x-2y)Cx-3y),即右边十字上都要带上字母y,分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。2.分组分解法分解因式：我们把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。如果一个多项式适当分组,使分组后各组之间有公因式或可应用公式,那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法,公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组,从局部考虑,使每组能够分解,从而达到整个多项式因式分解的目的,至于如何恰当地分组,需要具体问题具体分析,但分组时要有预见性,要统筹思考,减少盲目性,分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习,不断总结规律,便能掌握分组的技巧。典型例题】分析：当系数有分数或小数时,应先化为整数系数,便于下一步十字相乘。14——X2+33=-—(x2-4x-213二—1(X—7)(x+3)3:X；7-7+3=-4例2.分解因式：x2+29厂+100y21乂-；03x(-1)+1x(-10)=-131乂-23入—5X：101x(-1)+3x(-10)=-313x二1x(-2)+3x(-5)=-17分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。解：x2+29xy+100y2=x2+29y•x+100y2=(x+4y)(x+25y)例3.分解因式：3x2-11x+10分析：首项系数为3应分解为1X3,常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数-11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：其中符合对角两数之积的和为-11的只有第三个。解3x2—11x+10=(x—2)(3x—5)例4.因式分解：x2+6x:7分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一x2+6x一7=x2+6x+9一9一7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)xX-1小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例5.分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y（2）a2-b2+4a-4b（3）4x2一9y2一24yz一16z2（4）x3—x2—x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3,分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。2x2+2xy一3x一3yGx2+2xy)-(3x+=Cx+y)(2x-3)=x(2...
