1/10第三十四讲方式方程（组）本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．解分式方程一定要验根．解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．例题求解一、分式方程(组)的解法举例1．拆项重组解分式方程【例1】解方程64534275xxxxxxxx．解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如72175xxx，这样可降低计算难度．经检验211x为原方程的解．注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2．用换元法解分式方程【例2】解方程081318218111222xxxxxx．解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．解令x2+2x—8=y，原方程可化为0151191xyyxy解这个关于y的分式方程得y=9x或y=－5x．故当y=9x时，x2+2x—8=9x，解得x1=8，x2=—1．当y=－5x时，x2+2x—8=－5x，解得x3=—8，x4=1．经检验，上述四解均为原方程的解．注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．3．形如aaxx11结构的分式方程的解法形如aaxx11的分式方程的解是：ax1，ax12．【例3】解方程310511522xxxx．解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．11x，22x均为原方程的解．4．运用整体代换解分式方程组2/10【例4】解方程组xxxzyyyxx222222414414414．解析若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z=21故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=21．二、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于x的方程242241)1(2212122xaxxaxxa．解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．讨论：（1）当a2－1≠0时①当a≠0时，原方程解为x=212a；②当a=0时，此时21x是增根．(2)当a2－1＝0时即a=1，此时方程的解为x≠21的任意数；综上，当a≠±1且a≠0时，原方程解为x=212a；当a=0时，原方程无解，；当a=1时，原方程的解为x≠21的任意数．三、列分式方程解应用题【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S—18级的时间．解(1)设女孩上梯速度为x级／分，自动扶梯的速度为y级／分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级／分，且有ySxySx1818272273/10解得S=54．所以扶梯露在外面的部分有54级．(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯(m—1)遍、走过楼梯(n—1)遍．由于两人所走的时间相等，所以有xnxymxnxym)1(54)1(54254254．由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m—n≤1．试验知只有m=3，n=612符合要求．所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．注本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．【例7】(2001年江苏省初中...
