三角形五心的经典考题VIP专享VIP免费

学习必备欢迎下载有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心.有∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC，∠PP′C=21∠PNC=21∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.由于P′P平分∠BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21∠O2O1K=21(∠O2O1S+∠SO1K)=21(∠O2O1S+∠PO1O2)=21∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每ABCPPMN'ABCQKPOOO....S123学习必备欢迎下载条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.(1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC为正三角形，易证△∽△′.不妨设a≥b≥c，有CF=2222221cba，BE=2222221bac，AD=2222221acb.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=a23，BE=b23，AD=c23.∴CF:BE:AD=a23:b23:c23=a:b:c.故有△∽△′.(2)△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD. △∽△′，∴SS'＝(aCF)2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有SS'=43.AA'FF'GEE'D'C'PCBD学习必备欢迎下载∴22aCF=433a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知13212sinHAAHA=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A21A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2...