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1/3第四章无穷集合及其基数习题136P1.设A为由序列12,,,,naaa的所有项组成的集合,则是否市可数的?为什么?解:因为序列是可以重复的,故若A是由有限个数组成的集合,则A是有限的集合;若A是由无限个数组成的集合,则A是可数的。故本题A是至多可数的。2.证明:直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。证:在每个开区间中取一个有理数,则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q的子集,因此是至多可数的。3.证明:单调函数的不连续点的集合至多可数。证:设A是所有不连续点的集合,f是一个单调函数,则00,xAx对应着一个区间0((0),(0))fxfx,于是由上题便得到证明。4.任一可数集A的所有有限子集构成的集族是可数集合。证:设1212{,,,,},{,,,},niiikAaaaBaaa则BA且Bk。令{,}BBAB,设:{0,1}A,则是A的子集的特征函数。,()BB{0,1的有穷序列},即iaA,若iaB,则对应1;若iaB则对应0。于是,()BB就对应着一个由0,1组成的有限序列0,1,1,0,⋯,0,1。此序列对应着一个二进制小数,而此小数是有理数。于是,可数集A的所有有限子集对应着有理数的一个子集。又121212,,,,BBBBBB对应的小数也不同,故是单射。而可数集A的所有有限子集是无穷的,故是可数的。2/35.判断下列命题之真伪:(1)若:fXY且f是满射,则只要X是可数的,那么Y是至多可数的;(2)若:fXY且f是单射,那么只要Y是可数的,则X也是可数的;(3)可数集在任一映射下的像也是可数的;答案:对,错,错。7.设A是有限集,B是可数集,证明:{|:}ABffAB是可数的。证:由第四题可得。8.设为一个有限字母表,上所有字(包括空字)之集记为。证明是可数集证1:设有限字母上所有字(包括空字)所形成的集,则是可数的。A1={长度为1的字符串}A2={长度为2的字符串}An={长度为n的字符串}因为Ai中每个长度都是有限的,而=1iAi,故是至多可数的。又显然是无穷的,故是可数的。证2:不妨假设{,,}abc(令={0,1}也是可以),则可按字典序排序为:,,,,,,,,,,,,,abcaaabacbabbbcaaaaab。由于*的全部元素可以排成无重复项的无穷序列,故*是可数的。2.4习题142P2.找一个初等可数()fx,使得它是(0,1)到实数R的一一对应。解:Ctgx,或tgx,或()2tgx3.试给出一个具体的函数,使得它是从(0,1)到[0,1]的一一对应。3/3证:(0,1)中包含一个可数子集23111{,,,}222A可数。123111{0,1}{0,1,,,,}222AA——可数的,故1AA。令:(0,1)[0,1],(0,1)x2012()11411,322iixxAxxxxi当当当当()x即为所求。4.证明:若A可数,则2A不可数。(用对角线方法)。5.令{1,2,3,}N,{:{0,1}},SffN利用康托对角线法证明S是不可数集。

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