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1/3第四章无穷集合及其基数习题136P1.设A为由序列12,,,,naaa的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？解：因为序列是可以重复的，故若A是由有限个数组成的集合，则A是有限的集合；若A是由无限个数组成的集合，则A是可数的。故本题A是至多可数的。2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q的子集，因此是至多可数的。3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。证：设A是所有不连续点的集合，f是一个单调函数，则00,xAx对应着一个区间0((0),(0))fxfx，于是由上题便得到证明。4.任一可数集A的所有有限子集构成的集族是可数集合。证：设1212{,,,,},{,,,},niiikAaaaBaaa则BA且Bk。令{,}BBAB，设:{0,1}A，则是Ａ的子集的特征函数。,()BB｛0，1的有穷序列｝，即iaA，若iaB，则对应1；若iaB则对应0。于是,()BB就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，⋯，0，1。此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数。于是，可数集A的所有有限子集对应着有理数的一个子集。又121212,,,,BBBBBB对应的小数也不同，故是单射。而可数集Ａ的所有有限子集是无穷的，故是可数的。2/35．判断下列命题之真伪：(1)若:fXY且f是满射，则只要X是可数的，那么Y是至多可数的；(2)若:fXY且f是单射，那么只要Y是可数的，则X也是可数的；(3)可数集在任一映射下的像也是可数的；答案：对，错，错。7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明：{|:}ABffAB是可数的。证：由第四题可得。8.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。证明是可数集证１：设有限字母上所有字（包括空字）所形成的集，则是可数的。Ａ1＝{长度为1的字符串}Ａ2＝{长度为2的字符串}Ａn＝{长度为n的字符串}因为Ａi中每个长度都是有限的，而＝1iAi，故是至多可数的。又显然是无穷的，故是可数的。证2：不妨假设{,,}abc（令＝{0,1}也是可以），则可按字典序排序为：,,,,,,,,,,,,,abcaaabacbabbbcaaaaab。由于*的全部元素可以排成无重复项的无穷序列，故*是可数的。2.4习题142P2.找一个初等可数()fx，使得它是(0,1)到实数R的一一对应。解：Ctgx,或tgx，或()2tgx3.试给出一个具体的函数，使得它是从(0,1)到[0,1]的一一对应。3/3证：(0,1)中包含一个可数子集23111{,,,}222A可数。123111{0,1}{0,1,,,,}222AA——可数的，故1AA。令:(0,1)[0,1],(0,1)x2012()11411,322iixxAxxxxi当当当当()x即为所求。4.证明：若A可数，则2A不可数。（用对角线方法）。5．令{1,2,3,}N，{:{0,1}},SffN利用康托对角线法证明S是不可数集。