1/17专题8：极限与导数（理）一、考点回顾1.数学归纳法是证明关于自然数n(改为“与自然数n有关”)的命题的一种方法，在高中数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一.2.函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）.3.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.4.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是（改为“已成为”）高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用.5.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值.二、经典例题剖析考点一：数学归纳法例1：设正数数列na的前n项和nS满足221nnaS.求321,,aaa，猜想na的通项公式，并用数学归纳法证明；设11nnnaab，数列nb的前n项和为nT，求nnTlim.解析：（1）由题设可求5,3,1321aaa，猜想数列na的通项公式为：*12Nnnan，下面用数学归纳法证明：①当1n时，显然成立；②假设当kn时，猜想成立，即12kak，那么当1kn时，由221121,21kkkkaSaS221221111411412121kkkkkkkaaaaSSa化简可得：0221221kkkkaaaa，即0211kkkkaaaa，kkaa1或21kkaa，又0na，21kkaa，即1122121kkak，所以，当1kn时，猜想成立.2/17由①、②可知，对一切*Nn，有12nan.（2）由12nan，11nnnaab，则1211212112121nnnnbn121121121121715151313112121nnnbbbTnn所以21121121limlimnTnnn.答案：（1）证明见解析；（2）21点评：归纳、猜想、证明这一解题模式，是解决数列问题的常用方法，在证明过程中，要注意由n＝k到n＝k+1时，归纳假设的合理运用；另外，注意裂项项消法求和及常用的数列极限.考点二：数列的极限例4：已知数列na满足2,1,02121nnnaaaaa,求nnalim.解析：由221nnnaaa,得21122nnnnaaaa，∴数列12nnaa为常数列. 2212aa,∴221nnaa，∴3221321nnaa，∴数列32na是公比为21,首项为32的等比数列.，∴1213232nna，∴1213232nna，∴32limnna.答案：32点评：本题主要考查特殊数列通项公式的求解和数列的极限.难点在于求出数列na的通项公式.考点三：函数的极限和连续性3/17例5：设,021,00,02xxxbxxfx试确定b的值，使xfx0lim存在.解析：bbxxfxx2limlim00，221limlim00xxxxf，当且仅当2b时，有xfxfxx00limlim所以，当2b时，原函数极限存在.答案：2b点评：函数在某点处存在极限与函数在该点处连续的概念不同.存在极限只要求在该点处的左右极限相等；而在该点连续则还要求左右极限的值同时等于函数在该点处的函数值.例6：设,,11bxaxxxf00xx，（1）求xf；（2）求a的值使xf在0x处连续.解析：（1）当0x时，0xxxxf11；当0x时，0x，bxaxf.所以，,,11bxaxxxf00xx.（2）21111lim111lim11limlim0000xxxxxxxxf，axfx0lim.因为xf在0x处连续，则21a，此时210lim0fxfx.答案：（1）,,11bxaxxxf00xx；（2）21a点评：本题主要考查函数连续的概念，应和上一题进行对比.考点四：导数的概念及其运算例3：用定义求10,801610,542xxxxy在点10x处的导数.4/17解析：分别求出xyx0lim在10x处的左右极限，222000044410164555limlimlimlim16165xxxxxxxxyxxxx1616lim801016801016limlim0200xxxxxxx16limlimlim000xyxyxyxxx，即16|'10xy.答案：16点评：导数的定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导时，就要考虑用定义法去求导，本题是分段函数在分界点处的导数，只能用定义法去求，这时要注意，只有当左、右导数都存在且相等时，函数在这点的导数才是存在的.考点五：函数的最值与极值例2：求函数241)1ln()(xxxf在2,0上的最大值和最小值.解析：在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得,2111)...
