充分条件与必要条件的解题技巧VIP免费

充分条件与必要条件1.定义：对于“若p则q”形式的命题：①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若qp且pq，则p是q成立的必要不充分条件；④若既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充分必要条件（充要条件）.⑤若pq且qp，则p是q成立的既不充分也不必要条件．从集合的观点上关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p、q相应的集合关系．建立与p、q相应的集合，即:pAxpx成立，:qBxqx成立．若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q成立的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q成立的必要不充分条件；若AB，则p是q成立的充要条件；若AB且BA，则p是q成立的既不充分也不必要条件．例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[]A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解 x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根∴x1，x2的值分别为1，－6，x∴1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．变式1设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的[]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例2p是q的充要条件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；对．且，即，是的充要条件．选．DpqqppqpqD说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解例3（2009年北京）“2()6kkZ”是“1cos22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分解：当2()6kkZ时，1cos2cos4cos332k，w即pq．反之，当1cos22时，有2236kkkZ，或2236kkkZ，即qp．综上所述，“2()6kkZ”是“1cos22”的充分不必要条件，故选A．变式3ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[]A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0例4（2008福建)设集合01xAxx,03Bxx,那么“mA”是“mB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．解： 01Axx，∴AB.故选A．例5．已知p：，q：，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围解：由p：得；由q：得或 p是q的一个充分不必要条件，∴只有pq成立，∴，∴变式5已知命题p：1123x，命题q：222100xxmm，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．例6已知命题p：210xmx有两个不等的负根，命题q：2442xmx10无实数根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．分析：对命题p和命题q的条件进行化简可得m的范围，再对p、q的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出m的取值范围．解： 方程210xmx有两个不等的负根，∴2400mm，解得2m. 方程2442xmx10无实数根，∴2162160m，解得13m.若命题p为真，命题q为假，则213mmm或，得3m.若命题p为假，命题q为真，则213mm，得12m.综上所述，实数m的取值范围为12m或3m．变式6命题p：关于x的不等式对一切恒成立；命题q：函数在上递增若为真，而为假，求实数的取值范围。【解释】变式1解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5． 0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不必要条件，选A．变式3解：用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝－．故排除、、选．12ABDC解常规方法：当＝时，＝－．a...