平面向量数量积VIP专享VIP免费

我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。OABFSW=|F||s|cos平面向量的数量积,cosabababab两个非零向量和它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作cosbaba即0一向量的数量积为我们规定：零向量与任00a即向量的数量积的结果是数字注意!!:平面向量的数量积cosbaba2..ab在书写中中“”不能省略不写，也不能写成“”则而言，若思考：对于实数,0,abba00ba或?..1向量算结果是数量，而不是两平面向量的数量积运000baba或则那么若,0001cos23cos13532(2)061806(3)0ababababababababab解：（）当∥时若，若，当时，2,3,ababab已知向量与的夹角为，分别在下列条件下求例:0(1)135(2)3abab∥向量的夹角180与反向abOABabOAa0与同向abOABabaBbb记作ab90与垂直，abOABab注意:求两向量的夹角,两向量必须共起点的夹角。和叫做向量则作两个非零向量baAOBbOBaOAba,,,,000,180ABCED例22-2-132如图,边长为2的等边三角形ABC,点D,E分别是边BC,AC的中点,求ACAB）1BCAB）2BCAC）3ACDE）4DEAD）5时，当反向时，与当同向时，与当bababababababa0baaa2a2a2aaaa或时特别地：当bacosbaba平面向量的数量积：练习判断下列说法是否正确(×)(√)(×)(×)(√)(√)至少有一个为零向量则若则若有则对任一非零向量若有则对任一向量若bababbaababababa,,0)40,0,0)30,,0)20,,0)1则若,)baba6ba∥则若,)baba5ba∥OA=a，OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.我们得到a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.OBA返回当θ=0°时，它是|b|abOBA返回当θ=180°时，它是－|b|。abOBAθ返回当θ=90°，它是0。abOBAθB1当θ为锐角时，它是正值；返回abOBAθB1当θ为钝角时，它是负值；返回ab例.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，abba则，在上的投影为在上的投影为设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则（1）e·a=a·e=|a|cosθ重要性质:（5）|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|（4）cosθ=（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|当a与b反向时，a·b=－|a||b|特别地，a·a=|a|2或|a|=√a·a。（2）a⊥ba·b=0平面向量的数量积的运算律：cbcacbababababaabba)3()2()1(Rcba为任意向量，其中,,()()abcabc?,bacbca则若21ba.练习：baba.2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿对吗？反之成立吗？22226cos632bbaabbaababa7216660cos46360bababaababa322160460)()(,,求的夹角与已知例解:(1)48123622baabaabaa(2)