第11课时直线与抛物线的位置关系基础达标(水平一)1.直线l经过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线交于A、B两点,O为原点,则·的值为().A.12B.20C.-12D.-20【解析】焦点为(2,0),设直线l方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8my-16=0,∴y1y2=-16,x1x2=·=(y1y2)2=4,∴·=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是().A.2B.4C.4D.8【解析】由抛物线的定义知AF=AK,又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.联立方程组消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由题意得A(3,2),所以△AKF的边长为4,面积为×4×2=4.【答案】C3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是().A.1B.2C.D.1【解析】如图所示,设AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4,|PQ|==2,又|PQ|=y0+,∴y0+=2,∴y0=.【答案】D4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是().A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】由题意知,抛物线准线方程为x=-2,点Q(-2,0),设直线l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即直线l与抛物线的交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或00)的准线为l,过点M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p=.【解析】由题知准线l为x=-(p>0),2过点M且斜率为的直线为y=(x-1),则点A,设B(x,y),由=可知M为AB的中点,又M(1,0),所以即代入y2=2px,得p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).【答案】27.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积为时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由消去x得ky2+y-k=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-.∵A,B两点均在抛物线y2=-x上,∴=-x1,=-x2,∴·=x1x2.又∵kOA·kOB=·===-1,∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).∵S△OAB=S△OAN+S△OBN3=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1-y2|=·1·=.=,∴=,解得k=±.拓展提升(水平二)8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是().A.2B.3C.D.【解析】设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2).又点F,直线AB与x轴的交点M(m,0),不妨设y1>0,由⇒y2-ty-m=0,所以y1y2=-m,又·=2,所以x1x2+y1y2=2(⇒y1y2)2+y1y2-2=0,因为点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2,所以S△ABO+S△AFO=×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=⇒y1=时取“=”.所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.【答案】B9.已知抛物线y2=8x,点Q是圆C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一点,记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d,则|PQ|+d的最小值为().4A.5B.4C.3D.2【解析】由题意知,抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),连接PF(如图),则d=|PF|.将圆C化为(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为C(-1,4),半径为r=2,则|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|≥|FQ|(当且仅当F,P,Q三点共线时取得等号).而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离,显然当F,Q,C三点共线时,|FQ|取得最小值,且为|CF|-r=-2=3,故选C.【答案】C10.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为.【解析】当直线AB的斜率不存在时,|AB|=4;当直线AB的斜率k存在时,设点A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为(2,t),则k===,∴直线AB的方程为y-t=(x-2),将y-t=(x-2)与y2=4x联立,得y2-2ty+2t2-8=0,∴y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,∴|AB|2=(y1-y2)2=-(t2-2)2+36≤36,∴|AB|≤6,当且仅当t=±时,等号成立.综上所述,|AB|max=6.【答案】611.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)若p=2,求线段AF的中点N的轨迹方程;(2)若直线AB的斜率为2,当焦点为F时,求△OAB的面积;(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.5【解析】(1)焦点F(1,0),设点A(x0,y0),N(x,y),则由题意即故所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2)y2=2x,F,直线AB:y=2=2x-1,由得y2-y-1=0,|AB|=|y1-y2|=,设d为原点O到直线AB的距离,d==,S△OAB=d|AB|=.(3)显然直线MA,MB,MF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3.点A,B,M的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),M.设直线AB:y=k,代入抛物线方程,得y2-y-p2=0,所以y1y2=-p2.又=2px1,=2px2,所以x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),所以k1+k2=+=+=-.而2k3=2×=-,故k1+k2=2k3,所以直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.6
