2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若实数k满足00,即曲线x225−y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±√34-k,0);25-k>0,即曲线x225-k−y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±√34-k,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.答案A2.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√22x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28−y24=1B.x25−y24=1C.x24−y22=1D.x26−y23=1解析由椭圆x212+y23=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,由双曲线的渐近线方程为y=±bax,可得ba=√22,解得a2=6,b2=3,1则双曲线的方程为x26−y23=1.故选D.答案D3.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.x29−y24=1B.y24−x29=1C.x24−y29=1D.y212−x227=1解析C项中的双曲线x24−y29=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±32x,不是2x±3y=0.答案C4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25−y220=1B.x220−y25=1C.3x225−3y2100=1D.3x2100−3y225=1解析由题意知,双曲线的渐近线为y=±bax,则ba=2.因为双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,所以0=-2c+10,故c=5.又因为a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故双曲线的方程为x25−y220=1.答案A5.两正数a,b的等差中项为52,等比中项为√6,且a>b,则双曲线x2a2−y2b2=1的离心率e为()2A.13B.53C.√53D.√133解析因为两正数a,b的等差中项为52,等比中项为√6,所以{a+b=5,ab=6,解得{a=3,b=2或{a=2,b=3,因为a>b,所以{a=3,b=2,所以e=ca=√a2+b2a2=√133.故选D.答案D6.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为.解析双曲线x24−y212=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±√3x,故焦点(4,0)到渐近线y=√3x的距离d=4√3√3+1=2√3.答案2√37.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2m−y2m2+4=1的离心率为√5,则m的值为.解析由题意得m>0,所以a=√m,b=√m2+4,c=√m2+m+4.由e=ca=√5,得m2+m+4m=5,解得m=2.答案28.若一条双曲线与x28-y2=1有共同渐近线,且与椭圆x220+y22=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆方程为x220+y22=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3√2,3即椭圆的半焦距为3√2,设与双曲线x28-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为x28-y2=λ(λ≠0),所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为x28λ−y2λ=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,故所求双曲线的方程为x216−y22=1.答案x216−y22=19.双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求双曲线方程与椭圆的方程.解由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为y2a2+x2a2-25=1(a2>25),双曲线方程为y2b2−x225-b2=1(00,b>0),离心率e=√52,顶点到渐近线的距离为2√55,求双曲线C的方程.解依题意,双曲线焦点在y轴上,一个顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=±abx,即ax±by=0,所以ab√a2+b2=abc=2√55.又e=ca=√52,所以b=1,即c2-a2=1,(√52a)2-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为y24-x2=1.能力提升1.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C的焦距等于()A.2B.2√2C.4D.4√2解析双曲线的一条渐近线方程为xa−yb=0,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线的距离为bc√a2+b2=bcc=√3,所以b=√3.又ca=2,c2=a2+b2,所以c=2,故双曲线的焦距为2c=4.答案C2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+3y+2√5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x22−y218=1B.x218−y22=1C.x220−y25=1D.x225−y2100=15解析因为双曲线的渐近线为y=±bax,其中一条渐近线与直线l平行,则有-ba=-13,所以a2=9b2,又因为双曲线的焦点在x轴上,而其中一个焦点在直线l上,则直线l与x轴焦点(-2√5...
