高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.3 平均不等式同步测控 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.4.3算术—几何平均不等式同步测控我夯基，我达标1.若x>0,则4x+29x的最小值是()A.9B.3363C.13D.不存在解析:∵x>0,∴4x+29x=2x+2x+29x≥3323639)2)(2(3xxx.当且仅当2x=29x,即x=329时取“=”.答案:B2.设a、b、c∈R+,且a+b+c=1,若M=(a1-1)(b1-1)(c1-1),则必有()A.0≤M<81B.81≤M<1C.1≤M<8D.M≥8解析:∵a+b+c=1,∴(a1-1)(b1-1)(c1-1)=(acba-1)(bcba-1)(ccba-1)=cbabcaacb≥cabbacabc222=8(a、b、c∈R+).答案:D3.a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为()A.3-21B.21-3C.25D.21+3解析:若由a2+b2≥2ab,∴ab≤21;b2+c2≥2bc,∴bc≤1;c2+a2≥2ac,∴ac≤1得出ab+bc+ca≤25是错误的,因为等号不同时成立,取不到“=”.正确的解法:由已知,得a2=1-b2,c2=2-b2.又∵c2+a2=2,∴3-2b2=2.∴b2=21,a2=21,c2=23.1∴ab+bc+ca=ab+c(a+b)的取值分别为21±321)2222(26或21±22(26.21)22综上,ab+bc+ca的最小值为321.答案:B4.若a+b+c=0,a>b>c,则有()A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.以上皆错解析:∵a+b+c=0,a>b>c,∴a+b+c0.∴由b>c,得ab>ac.∴A正确.又∵a+b+c>c+c+c=3c,∴c<0.则由a>b,得ac0,且x2y=2,则xy+x2的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析:∵xy>0,由xy+x2=222xxyxy≥323243222413413)2(3yxxxy=3,知最小值为3,当且仅当2xy=x2时等号成立.2∵xy>0,∴x=2y=1时,取“=”.答案:C7.当00,cosx>0.∴f(x)≥xxxxcossin4sincos2=4.答案:C8.设a>b>c,n∈N*,且ba1+cb1≥can恒成立,则n的最大值为()A.2B.3C.4D.5解析:∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,b-c>0.∴ba1+cb1≥can,即n≤cbcbbabacbbacbcabaca=2+cbbabacb恒成立.由cbbabacbcbbabacb2=2,∴n≤2+2=4.答案:C我综合，我发展9.函数y=log2(x+11x+5)(x>1)的最小值为________________.解析:∵x>1,∴x+11x+5=(x-1)+11x+6≥11)1(2xx+6=8.∴y=log2(x+11x+5)≥log28=3.答案:310.已知a、b、c∈R+,则(ba+cb+ac)(ab+bc+ca)≥_________________.3解析:∵a、b、c∈R+,∴(ba+cb+ac)(ab+bc+ca)≥3333cabcabaccbba=9.答案:911.已知x∈R+,有不等式x+x1≥2,x+24x=2x+2x+24x≥3…,由此启发我们可以推广为x+nxa≥n+1(n∈N*),则a=_______________.解析:由x+x1≥2,x+224224xxxx≥3,x+433333333)3(433333xxxxxxx=4….∴a=nn,x+1)()1(nnnnnnnnxnnxnxnnxnxnxxn=n+1.答案:nn12.若记号“*”表示求两个数a与b的算术平均的运算,即a*b=2ba,则两边均含有运算“*”和“+”且对任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是______________.解析:a+(b*c)=a+2cb=22cba=2ba+2ca=(a*b)+(a*c),(a+b)*(a+c)=2)()(caba=22cba.答案:a+(b*c)=(a*b)+(a*c)=(a+b)*(a+c)13.已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:ba1+cb1+ac1≥29.分析:由已知条件a+b+c=1,而不等式中含有a+b,b+c,c+a等量.∴可将等式a+b+c=1,化为(a+b)+(b+c)+(c+a)=2进行代换.证明:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1,∴(a+b)+(b+c)+(c+a)=2.∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［ba1+cb1+ac1］≥3))()((3accbba31113accbba=9.∴ba1+cb1+ac1≥29成立.14.已知a、b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.解析:可用比较法证明,也可构造平均不等式证明.证法一:(比较法)∵a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)2(a+b),又∵a,b∈R+且a≠b,∴(a-b)2>0.a+b>0.∴a3+b3>a2b+ab2.4证法二:(平均不等式法)∵a、b∈R+,且a≠b.∴a3+b3=31［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］>31(3233333333bbabaa)=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.我创新，我超越15.设a、b、c∈R+,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证明:∵a、b、c∈R+,∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥3333333333cbacba=6abc.∴原不等式成立.16.求y=4sin2xcosx的最值.分析:∵sin2x+cos2x=1,∴可构造“和”为定值,求出值域.需先求出y2的值域,再求y的范围.解:y2=16sin4xcos2x=16sin2xsin2xcos2x=64×xxx222cos2sin2sin≤64×3222)3cos2sin2sin(xxx=64×(31)3=2764.∴398938y.∴最大值为398,最小值为938.5