高二数学空间向量及其运算知识精讲VIP免费

高二数学空间向量及其运算【本讲主要内容】空间向量及其运算空间向量的概念、空间向量的加减、数乘及数量积运算、空间向量基本定理【知识掌握】【知识点精析】1.空间向量及其运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。（2）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。（3）空间向量的加、减与数乘运算。如图，空间向量的加、减与数乘满足如下运算律aaBbabaAαOaOPOBabABOBOAOPaR()a①加法交换律abba②加法结合律()()abcabc③数乘分配律()abab2.共线向量与共面向量（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作ab//。（2）共线向量定理；对空间任意两个向量abbab，（≠），0//的充要条件是存在实数λ使ab。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta，其中向量a叫做直线l的方向向量。（3）共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。（4）共面向量定理：如果两个向量ab，不共线，则向量p与向量ab，共面的充要条用心爱心专心件是存在实数对x，y，使pxayb。3.空间向量基本定理如果三个向量abc，，不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc。我们把叫做空间的一个基底，abc，，都叫做基向量。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序数x、y、z，使OPxOAyOBzOC。4.两个向量的数量积（1）两个向量的夹角，已知两个非零向量a,b在空间中任取一点O，作OAa，OBb，则∠AOB叫做向量ab与的夹角，记作ab，。通常规定，0ababba，，并且，，如果ab，2，则称ab与互相垂直，并记作ab。（2）向量的长度：设OAa，则有向线段OA的长度叫做a的长度或模，记||a。（3）数量积：已知向量abababab，，则，||||cos叫做向量ab，的数量积。记作abababab，即，||||cos。它满足以下性质①aeaae||cos，（e为单位向量）②abab0③||aaa2空间向量的数量积，满足以下运算律①()()abab②abba③abcabac()【解题方法指导】1.选定空间不共面的三个向量作为基底，并用它们表示指定的向量，是用向量知识解决用心爱心专心立体几何问题的基本要求。2.利用向量知识解决立体几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向量的有关公式列出方程求解。3.借助空间向量将立体几何中的垂直、角、距离、平行等问题进行转化处理。如：判断线线平行或诸点共线，转化为证abab//；证明线线垂直，转化为证abab0；在计算异面直线所成的角时，转化为求向量的夹角，利用公式cos||||abab；求立体几何中线段的长度时，转化为求aaa||2，或利用空间两点距离公式。例1.已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量表示向量OG，设，则x、y、z的值分别为（）A.B.C.D.解：连结用心爱心专心答案：D例2.已知一个60°的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8，求CD。解：CA⊥AB，且【考点突破】【考点指要】从近年以来的新课程高考试题中可以看出，在新增内容中，空间向量是每年高考中的必考内容（为立体几何提供一种新的解决方法），突破了以往只能用传统方法解决立体几何问题的束缚，使数形结合思想得到进一步的应用。【典型例题分析】例1.设abacbc，与夹角...