1.1.2充分条件和必要条件[基础达标]1．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的________条件．解析：由不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以x>是2x2＋x－1>0的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(x＋1)(x＋2)>0是(x＋1)(x2＋2)>0的________条件．解析：(x＋1)(x＋2)>0⇒x<－2或x>－1，(x＋1)·(x2＋2)>0⇒x>－1，因为x>－1⇒x<－2或x>－1，x<－2或x>－1x>－1，所以应填“必要不充分”．答案：必要不充分3．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．解析：由题意知p⇒q，r⇒q，s⇔q，s⇒t，t⇒r，所以p⇒t，r⇔t.答案：充分充要4．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的________条件．解析：因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的________条件．解析：当m＝时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直，故原命题为真．而当m＝－2时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直，所以其逆命题为假．答案：充分不必要6．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的________条件．解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．求使关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根都大于2的充要条件．解：设关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根为x1，x2，依题意，得不等式组等价于，，解得，∴m>.即关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根都大于2的充要条件为{m|m>}．8．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.证明：充分性：因为a－b＋c＝0，即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.[能力提升]1．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的________条件．解析：(1)当直线l与三个平行平面α1，α2，α3垂直时，显然P1P2＝P2P3⇔d1＝d2.(2)当直线l与α1，α2，α3斜交时，过点P1作直线P1A⊥α2分别交α2，α3于点A，B，则P1A⊥α3，故P1A＝d1，AB＝d2，显然，相交直线l与直线P1A确定一个平面β，∵α1∥α2∥α3，∴P2A∥P3B，∴＝.故P1P2＝P2P3⇔d1＝d2.综上知应填充分必要条件．答案：充分必要2．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：由题意得x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意；反之n＝3,4时都可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案：3或43．已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，1∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，qp，即AB，可知A＝∅或方程x2＋ax＋1＝0的两根在区间[1,2]内，∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a<2.即实数a的取值范围为－2≤a<2.4．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|55}，P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5
