第3讲计数原理与二项式定理1．记n的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b4，求n.解：(1)n的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·C.(2)当n＝6时，n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r.依题意，6－2r＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1.等式(x2＋2x＋2)10＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b20(x＋1)20，其中bi(i＝0,1,2，…，20)为实常数．(1)求2n的值；(2)求nb2n的值．解：法一：(1)令x＝－1，得b0＝1，令x＝0，得b0＋b1＋b2＋…＋b20＝210＝1024，令x＝－2，得b0－b1＋b2－b3＋…－b19＋b20＝210＝1024，所以2n＝b2＋b4＋b6＋…＋b20＝1023.(2)对等式两边求导，得20(x＋1)(x2＋2x＋2)9＝b1＋2b2(x＋1)＋3b3(x＋1)2＋…＋20b20(x＋1)19，令x＝0，得b1＋2b2＋…＋20b20＝20×29＝10240，令x＝－2，得b1－2b2＋3b3－4b4＋…＋19b19－20b20＝－20×29＝－10240，所以b2n＝(2b2＋4b4＋6b6＋…＋20b20)＝5120.所以nb2n＝(n＋1)b2n＝b2n＋2n＝5120＋1023＝6143.法二：由二项式定理易知(x2＋2x＋2)10＝[1＋(x＋1)2]10＝C＋C(x＋1)2＋C(x＋1)4＋…＋C(x＋1)20＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b20(x＋1)20，比较可知b2n＝C(n＝1,2，…，10)．(1)2n＝C＋C＋…＋C＝210－1＝1023.(2)因为an＝n＋1,所以nb2n＝(n＋1)C＝C＋，设T＝C＝0·C＋1·C＋2·C＋…＋10·C，T也可以写成T＝C＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C，相加得2T＝10·210，即T＝5·210，所以nb2n＝C＋＝5·210＋210－1＝6143.3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简CC＋CC＋CC＋CC.【案例】考察恒等式(1＋x)5＝(1＋x)2(x＋1)3左右两边x2的系数．因为右边(1＋x)2(x＋1)3＝(C＋Cx＋Cx2)(Cx3＋Cx2＋Cx＋C)，所以右边x2的系数为CC＋CC＋CC，而左边x2的系数为C，所以CC＋CC＋CC＝C.(2)求证：(r＋1)2(C)2－n2C＝(n＋1)C.解：(1)考察恒等式(1＋x)7＝(1＋x)3(x＋1)4左右两边x3的系数．因为右边(1＋x)3(x＋1)4＝(C＋Cx＋Cx2＋Cx3)·(Cx4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋C)，所以右边x3的系数为CC＋CC＋CC＋CC，而左边x3的系数为C，所以CC＋CC＋CC＋CC＝C.(2)证明：由rC＝r·＝n·＝nC，可得(r＋1)2(C)2＝(rC)2＋r(C)2＋(C)2＝n2(C)2＋2n·C＋(C)2.考察恒等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n左右两边xn的系数．因为右边(1＋x)n(x＋1)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn)·(Cxn＋Cxn－1＋…＋C)，所以右边xn的系数为CC＋CC＋…＋CC＝(C)2，而左边的xn的系数为C，所以(C)2＝C.同理可求得(C)2＝C.考察恒等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(x＋1)n左右两边xn－1的系数．因为右边(1＋x)n－1(x＋1)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn－1)(Cxn＋Cxn－1＋…＋C)，所以右边xn－1的系数为CC＋CC＋…＋CC＝·C，而左边的xn－1的系数为C，所以·C＝C，所以(r＋1)2(C)2－n2C＝n2C＋2nC＋C－n2C＝2nC＋C＝n(C＋C)＋C＝n(C＋C)＋C＝nC＋C＝(n＋1)C.4．(2019·苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列．解：(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0,1,2，…，n组成．如果第n行中有＝＝，＝＝，那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.(2)证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2C＝C＋C，2C＝C＋C，即＝＋，＝＋.有＝＋，＝＋，化简整理得，n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.两式相减得，n＝2r＋3，于是C，C，C，C成等差数列．而由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立．5．已知An＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·22＋…＋kn...
