第二章随机变量及其分布检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=()A.32B.2C.52D.3解析:E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32.答案:A2正态分布N1(μ1,σ12¿,N2(μ2,σ22),N3(μ3,σ32)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图,则下列说法正确的是()A.μ1最大,σ1最大B.μ3最大,σ3最大C.μ1最大,σ3最大D.μ3最大,σ1最大解析:在正态分布N(μ,σ2)中,x=μ为正态曲线的对称轴,结合题图可知,μ3最大;又参数σ确定了曲线的形状,σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.故由题图知σ1最大.答案:D3乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为()A.564B.1564C.532D.516解析:甲以4比2获胜,则需打六局比赛且甲第六局胜,前五局胜三局,故其概率为C53(12)3×(12)2×12=532.答案:C14对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()A.35B.25C.59D.110解析:“第一次摸出正品”记为事件A,“第二次摸出正品”记为事件B.则P(A)¿C61C91C101C91=35.P(AB)¿C61C51C101C91=13,则P(B|A)¿P(AB)P(A)=59.答案:C5若随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为()A.3×2-2B.3×2-10C.2-4D.2-8解析: ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,∴np=6,且np(1-p)=3,解得n=12,p¿12,∴P(ξ=1)¿C121×12(1-12)11=3×2−10.答案:B6如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.126125B.65C.168125D.75解析:由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.由于P(X=0)¿27125,P(X=1)=54125,2P(X=2)¿36125,P(X=3)=8125,故E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=150125=65.答案:B7一人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子里,每个盒子里放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对的个数为ξ,则ξ的均值为()A.12B.23C.1D.2解析:将四个不同小球放入四个不同盒子里,每个盒子里放一个小球,共有A44种不同放法,放对的个数ξ可取的值为0,1,2,4.其中,P(ξ=0)¿9A44=38,P(ξ=1)=C41×2A44=13,P(ξ=2)=C42A44=14,P(ξ=4)=1A44=124,E(ξ)=0×38+1×13+2×14+4×124=1,故选C.答案:C8一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16解析:由已知,得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,故ab¿16×3a×2b≤16(3a+2b2)2=16.答案:D9设随机变量η服从正态分布(1,σ2),若P(η<-1)=0.2,则函数f(x)¿13x3+x2+η2x没有极值点的概率是()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8解析: 函数f(x)¿13x3+x2+η2x没有极值点,∴f'(x)=x2+2x+η2=0无解,∴Δ=4-4η2<0,∴η<-1或η>1. 随机变量η服从正态分布N(1,σ2),P(η<-1)=0.2,3∴P(η<-1或η>1)=0.2+0.5=0.7,故选C.答案:C10已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(1)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(2)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)
E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p10.故p1>p2.ξ1的可能取值为1,2,P(ξ1=1)¿Cn1Cm+n1=nm+n;P(ξ1=2)¿Cm1Cm+n1=mm+n.故E(ξ1)=1×nm+n+2×mm+n=2m+nm+n.ξ2的可能取值为1,2,3.P(ξ2=1)¿Cn2Cm+n2=n(n-1)(m+n)(m+n-1),P(ξ2=2)¿Cm1Cn1Cm+n2=2mn(m+n)(m+n-1),P(ξ2=3)¿Cm2Cm+n2=m(m-1)(m+n)(m+n-1),故E(ξ2)=1×n(n-1)(m+n)(m+n-1)+2...
