2.3抛物线（2）A级基础巩固一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小(C)A．小于90°B．等于90°C．大于90°D．不能确定[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝(B)A．13B．C．6D．4[解析]代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝.3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(B)A．(，±)B．(，±)C．(，)D．(，)[解析]设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，∴y＝，∴y0＝±，故选B．4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(B)A．2B．4C．8D．16[解析]根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(C)A．B．1C．D．[解析]设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.6．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(C)A．B．2C．2D．3[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.1由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．联立得方程组解得或 点M在x轴的上方，∴M(3,2)． MN⊥l，∴N(－1,2)．∴|NF|＝＝4，|MF|＝|MN|＝＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为2.故选C．二、填空题7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条.[解析] 点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为__(－9，－6)或(－9,6)__.[解析]由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．三、解答题9．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.[解析]如图，依题意可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，2即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由，消去y得x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求的抛物线标准方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.B级素养提升一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(C)A．2或－2B．－1C．2D．3[解析]由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．(2016·山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为(B)A．B．2C．D．3[解析]F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为＝2.3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(B)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2[解析]设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由，得A(2p,2p)．则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.4．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA·OB的值是(D)A．12B．－12C．3D．－3[解析]设A(，y1)、B(，y2)，则OA＝(，y1)，OB＝(，y2)，则OA·OB...
