高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

二一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A基础达标]1．设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值为()A．B．C．2D．3解析：选A.由柯西不等式，得(＋＋)2≤[()2＋()2＋()2]＝×1＝，所以＋＋≤＝，当且仅当＝＝2时，等号成立．故选A.2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为()A．1B．2C．－1D．不确定解析：选A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时，等号成立，所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.故选A.3．已知x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为()A．2B．4C．6D．8解析：选B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y＋4z)2，又x2＋3y2＋4z2＝2所以2×8≥(x＋3y＋4z)2.所以|x＋3y＋4z|≤4.当且仅当x＝＝，即x＝y＝z＝时取等号．4．设a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则＋＋的最小值为()A．1B．4C．6D．9解析：选C.由柯西不等式得(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·1≥＝36.即6≥36.所以＋＋≥6.故选C.5．已知实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，x2＋y2＋z2≤4，则2x＋y＋z＝()A．B．C．D．2解析：选B.因为实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，所以2x－y－2z＝6.由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x－y－2z)2＝36，所以x2＋y2＋z2≥4.再根据x2＋y2＋z2≤4，可得x2＋y2＋z2＝4.故有＝＝，所以x＝－2y，z＝2y.再把x＝－2y，z＝2y代入2x－y－2z－6＝0，求得y＝－，则2x＋y＋z＝－4y＋y＋2y＝－y＝.6．已知a，b，c∈R＋，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．解析：因为a＋2b＋3c＝6，所以1×a＋1×2b＋1×3c＝6.所以(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2＝36，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．答案：127．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________．解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥＝.当且仅当＝＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得：x＝，y＝，z＝，所求点为.答案：8．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x＋y＋z)≥＝36，所以＋＋≥36，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．综上可知，＋＋的最小值为36.答案：369．设x＋y＋z＝1，求H＝2x2＋3y2＋z2的最小值．解：因为x＋y＋z＝·x＋·y＋1·z，所以由柯西不等式得：(x＋y＋z)22＝≤·(2x2＋3y2＋z2)，即·H≥1，解得H≥，等号成立的条件为解得x＝，y＝，z＝.此时，H＝.综上所述，H的最小值为.10．已知|x＋2y＋3z|≥4(x，y，z∈R)．(1)求x2＋y2＋z2的最小值；(2)若|a＋2|≤(x2＋y2＋z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为(x＋2y＋3z)2≤(12＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)，且|x＋2y＋3z|≥4(x，y，z∈R)，所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝时取等号．即x2＋y2＋z2的最小值为.(2)因为x2＋y2＋z2的最小值为，所以|a＋2|≤×＝4，所以－4≤a＋2≤4，解得－6≤a≤2，即a的取值范围为[－6，2]．[B能力提升]1．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝()A．B．C．D．解析：选C.由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)·≥，当且仅当＝＝时等号成立．因为a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，所以等号成立．所以＝＝.所以＝.故选C.2．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径R为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________．解析：由已知得absinC＝，＝2R＝2.所以abc＝1，所以＋＋＝ab＋bc＋ca，由柯西不等式得(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2，所以≥(＋＋)2.3即＋＋≥＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．当a＝b＝c时，三角形ABC的面积为，不满足题意，所以s