第2课时线性回归分析A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：分类甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D2．已知回归方程y＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是()A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04解析：因为残差ei＝yi－yi，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.答案：C3．若某地财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元解析：x＝10时，y＝0.8×10＋2＝10.因为|e|<0.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．答案：C4．下列说法中正确的是()①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；②回归直线y＝bx＋a一定经过样本点的中心(x，y)；③随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r|越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线y＝bx＋a一定通过样本点的中心(x，y)，②正确；③随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0，③正确；④用相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，④错误．答案：D5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()1A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．答案：B二、填空题6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．解析：由ei恒为0，知yi＝yi，即yi－yi＝0，答案：17．根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，若a＝5.4，则x每增加1个单位，估计y________个单位．x34567y42.5－0.50.5－2解析：由题意可得，x＝5，y＝(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，因为回归方程为y＝bx＋a，若a＝5.4，且回归直线过点(5，0.9)，所以0.9＝5b＋5.4，解得b＝－0.9，所以x每增加一个单位，估计y减少0.9个单位．答案：减少0.98．已知方程y＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，y的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．解析：将x＝160代入y＝0.85x－82.71，得y＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差e＝y－y＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.29三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年到2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．2为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：方法一从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境...
