课时分层作业(七)二项式定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5D[原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]2．已知的展开式的第4项等于5，则x等于()A．B．－C．7D．－7B[T4＝Cx4＝5，则x＝－.]3．在的展开式中常数项是()A．－28B．－7C．7D．28C[Tk＋1＝C··＝(－1)k·C··x，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.]4．在的二项展开式中，x2的系数为()A．－B.C．－D.C[Tk＋1＝C·＝(－1)k22k－6·Cx3－k，令3－k＝2，则k＝1，所以x2的系数为(－1)1×2－4×C＝－，故选C.]5．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24A[展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]二、填空题6．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为________．－210[由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210.]7．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为________．330[x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝330.]8．如果的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________.8[Tk＋1＝C()n－k＝Cx，由题意知k＝2时，＝2，所以n＝8.]三、解答题9．已知在的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解]通项公式为：1Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，∴所求的系数为C(－3)2＝405.(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.即405x2，－61236,295245x－2.10．记的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b4，求n.[解](1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·C.(2)当n＝6时，的展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)6－k·＝26－k·C·x6－2k.依题意，6－2k＝0，得k＝3，故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.1．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是()A．－6B．－3C．0D．3A[∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，∴x2的系数是－12＋6＝－6.]2．设a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12D[512018＋a＝(13×4－1)2018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512018＋a能被13整除．]3．若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.－2[Tk＋1＝C·(ax2)5－k＝C·a5－kx.令10－k＝5，解得k＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]4．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．(填序号)①④[二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小2值及此时展开式中x7的系数．[解]由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18.x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156.3
