解答题增分练(二)1．(2019·绍兴模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点，图象与x轴的相邻两个交点的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若f＝－，求sinθ的值．解(1)由已知得T＝2π，则ω＝1，所以f(x)＝cos(x＋φ)．又f＝－，所以cos＝－，又0<φ<π，所以<＋φ<.所以＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝cos＝－sinx.(2)因为f＝－sin＝－，所以sin＝，所以cos＝±.当cos＝时，sinθ＝sin＝sincos－cossin＝；当cos＝－时，sinθ＝sin＝sincos－cossin＝.所以sinθ＝或.2．(2019·衢二中模拟)如图，正方形ABCD所在平面外一点满足PE＝PF，其中E，F分别是AB与AD的中点．(1)求证：EF⊥PC；(2)若AB＝4，PE＝PF＝2，且二面角P－EF－C的平面角的余弦值为，求BC与平面PEF所成角的正弦值．(1)证明连接AC，交EF于点O(如图)，连接PO，则EF⊥PO，EF⊥AC，PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面POC，故EF⊥平面POC.又PC⊂平面POC，因此EF⊥PC.(2)解由(1)知∠POC即为二面角P－EF－C的平面角，1即cos∠POC＝，且FO＝，PO＝，OC＝3，在△POC中应用余弦定理，得PC＝＝＝2，于是有PC2＋OC2＝PO2，即PC⊥OC，又EF⊥PC，EF∩OC＝O，EF，OC⊂平面ABCD，从而有PC⊥平面ABCD.方法一连接BD，交AC于点G，在平面POC中，过点G作GH⊥PO于点H.连接EG，EH，则EG∥BC.由(1)知EF⊥平面POC，故平面PEF⊥平面POC，平面PEF∩平面POC＝PO，又GH⊥PO，GH⊂平面POC，所以GH⊥平面PEF，因此∠GEH即为直线BC与平面PEF所成的角．在△POC中，由＝，解得HG＝.因此sin∠GEH＝＝.即BC与平面PEF所成角的正弦值为.方法二以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0,0,0)，P(0,0,2)，B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，于是PE＝(2,4，－2)，PF＝(4,2，－2)，CB＝(0,4,0)，设平面PEF的法向量为m＝(x，y，z)．则即解得x＝y，令x＝1，于是平面PEF的一个法向量为m＝(1,1,3)，设直线BC与平面PEF所成角为θ，因此sinθ＝|cos〈CB，m〉|＝＝＝.所以BC与平面PEF所成角的正弦值为.3．(2019·慈溪中学模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝n∈N*.(1)求证：数列是等比数列；2(2)设Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.(1)证明因为＝＝＝＝，所以数列是以a2－＝－为首项，为公比的等比数列．(2)解由(1)得a2n－＝－·n－1＝－·n，则a2n＝－·n＋，由a2n＝a2n－1＋(2n－1)，得a2n－1＝3a2n－3(2n－1)＝－·n－1－6n＋，故a2n－1＋a2n＝－·－6n＋9＝－2·n－6n＋9，所以S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝－2·－6(1＋2＋3＋…＋n)＋9n＝－2·－6·＋9n＝n－1－3n2＋6n＝n－3(n－1)2＋2，显然，当n∈N*时，{S2n}单调递减，当n＝1时，S2＝>0，当n＝2时，S4＝－<0，则当n≥2时，S2n<0；S2n－1＝S2n－a2n＝·n－－3n2＋6n，同理可得当且仅当n＝1时，S2n－1>0，综上可得，满足条件Sn>0的正整数n的值为1和2.34．(2019·衢二中模拟)已知直线l与抛物线C：x2＝4y交于M，N两点．(1)当点M，N的横坐标之和为4时，求直线l的斜率；(2)已知点P(1，－2)，直线l过点Q(0,1)，记直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，当＋取最大值时，求直线l的方程．解(1)设M，N，则x1＋x2＝4，∴kMN＝＝＝1.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立方程组⇒x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0恒成立，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，则＋＝＋＝＝＝－＋，令8k－3＝t，则k＝，则＋＝－＋.当t>0时，＋＝－＋＝－＋≤－，当且仅当8k－3＝t＝9，即k＝时，取等号；当t＝0时，＋＝－＋＝－<－；当t<0时，＋＝－＋＝－＋∈.综上所述，当k＝时，＋取得最大值－，此时直线l的方程是y＝x＋1，即3x－2y＋2＝0.5．(2019·绍兴一中模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)ln(x＋1)－x2－ax(a>0)是减函数．(1)试确定a的值；(2)已知数列{an}，an＝，Tn＝a1a2a3…an(n∈N*)，求证：ln[(n＋2)Tn]<1－.(1)解f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝aln(x＋1)－2x.由f(x)是减函数得，对任意的x∈(－1，＋∞)，都有f′(x)＝aln(x＋1)－2x≤0恒成立．设g(x)＝aln(x＋1)－2x，x∈(－1，＋∞)． g′(x)＝，4由a>0知，－1>－1，∴当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′...
