课堂10分钟达标1.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当x=1时,x3=x成立.若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1;不一定得到x=1.2.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数.3.函数y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是()A.1
1,解得a<1.4.在平面直角坐标系xOy中,直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=______.【解析】直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直可得:1·m+(m+1)·2=0⇒m=-.答案:-5.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的______条件(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要”).【解析】a=1且b=2⇒a+b=3,所以a+b≠3⇒a≠1或b≠2,而a+b=3a=1且b=2,所以a≠1或b≠2a+b≠3.答案:必要不充分6.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一正根和一负根的充要条件是ac<0.1【证明】必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,所以ac<0.充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=<0,所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根.7.【能力挑战题】设函数f(x)=x|x-a|+b.求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.【证明】充分性:若a2+b2=0,则a=b=0,所以f(x)=x|x|.因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以f(x)是奇函数.必要性:若f(x)是奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b.令x=0,得b=-b,所以b=0;令x=a,得a|2a|=0,所以a=0,即a2+b2=0.23
