第四节数列求和A组基础题组1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn=()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+…+(2n+2n-1)=(21+22+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=2(1-2n)1-2+n[1+(2n-1)]2=2n+1-2+n2.故选C.2.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为()A.990B.1000C.1100D.99答案An为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.3.(2019河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2018=()A.3B.2C.1D.0答案A an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,∴a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,……,故数列{an}是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S2018=336×0+a2017+a2018=a1+a2=3.故选A.4.定义np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”.若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1,又bn=an+14,则1b1b2+1b2b3+…+1b10b11=()A.111B.112C.1011D.1112答案C依题意有na1+a2+…+an=12n+1,即前n项和Sn=n(2n+1)=2n2+n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1(n∈N*),则a1=3满足该式.则an=4n-1(n∈N*),则bn=an+14=n.因为1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,所以1b1b2+1b2b3+…+1b10b11=1-12+12-13+…+110-111=1011.5.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.16答案C根据题意,这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,易得从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.6.已知数列{an}满足a1=1,an+1={2an,n,为正奇数an+1,n,为正偶数则其前6项之和是.答案33解析由已知得a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,所以S6=1+2+3+6+7+14=33.7.(2018湖南益阳、湘潭调研)已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则1b1b2+1b2b3+…+1b2017b2018的值是.答案40332017解析由Sn+1=2Sn可知,数列{Sn}是首项为S1=a1=2,公比为2的等比数列,所以Sn=2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.bn=log2an={1,n=1,n-1,n≥2,当n≥2时,1bnbn+1=1(n-1)n=1n-1-1n,所以1b1b2+1b2b3+…+1b2017b2018=1+1-12+12-13+…+12016-12017=2-12017=40332017.8.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2018=.答案-1009解析由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得,a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1,a6=-2,a7=-1,…,故该数列为周期是4的数列,所以S2018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=504×(-2)+1-2=-1009.9.(2018江西南昌调研)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,记bn=anSn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1) Sn=2n+1-2,∴当n=1时,a1=S1=21+1-2=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又a1=2=21,∴an=2n(n∈N*).(2)由(1)知,bn=anSn=2·4n-2n+1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2(41+42+43+…+4n)-(22+23+…+2n+1)=2×4(1-4n)1-4-4(1-2n)1-2=23·4n+1-2n+2+43.B组提升题组1.已知数列{an},若an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2019项和为.答案-4解析由“凸数列”的定义及b1=1,b2=-2,得b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,……,∴数列{bn}是周期为6的周期数列,且b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,于是数列{bn}的前2019项和等于b1+b2+b3=-4.2.(一题多解)(2018安徽合肥模拟)数列{an}满足:a1=13,且an+1=(n+1)an3an+n(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn=.答案n3解析解法一:an+1=(n+1)an3an+n,两边同时取倒数得1an+1=3an+n(n+1)an=3n+1+n(n+1)an,整理得n+1an+1=nan+3,所以n+1an+1-nan=3,所以数列{nan}是以1a1=3为首项,3为公差的等差数列,所以nan=3n,所以an=13,所以数列{an}是常数列,所以Sn=n3.解法二:根据a1=13,an+1=(n+1)an3an+n,可得a2=13,a3=13,a4=13,所以猜想an=13,则an+1=(n+1)×133×13+n=13,所以an=13恒成立,从而Sn=n3.3.(2019广东广州调研)已知数列{an}满足a1+4a2+42a3+…+4n-1an=n4(n∈N*).(1)...
