第一章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1与极坐标(-2,π6)不表示同一点的极坐标是()A.(2,7π6)B.(2,-7π6)C.(-2,-11π6)D.(-2,13π6)答案:B2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的13,得到的曲线方程为()A.F(x2,3y)=0B.F(2x,y3)=0C.F(3x,y2)=0D.F(x3,2y)=0解析:设(x,y)经过伸缩变换变为(X,Y),所以{X=2x,Y=13y,则{x=12X,y=3Y,代入F(x,y)=0得F(12X,3Y)=0,即F(12x,3y)=0.答案:A3若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是()A.关于极轴所在的直线对称1B.关于极点对称C.关于过极点垂直于极轴的直线对称D.重合答案:C4以(-√2,π4)为圆心,半径为√2的圆的极坐标方程为()A.ρ=-(sinθ+cosθ)B.ρ=sinθ+cosθC.ρ=-2(sinθ+cosθ)D.ρ=2(sinθ+cosθ)答案:C5极坐标方程4ρsin2θ2=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析: 4ρsin2θ2=5,∴4ρ·1-cosθ2=2ρ−2ρcosθ=5,化为直角坐标方程为2√x2+y2−2x=5,即y2=5x+254,该方程表示抛物线.答案:D6在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;②tanθ=1(ρ≥0)与θ¿π4¿≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.①③B.①C.②③D.③解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①错误;tanθ=1不仅表示θ¿π4这条射线,还表示θ¿5π4这条射线,故②错误;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.2答案:D7若点P的直角坐标为(1,−√3¿,则点P的极坐标为()A.(2,π3)B.(2,4π3)C.(2,-π3)D.(2,-4π3)解析: P(1,−√3¿,ρ=¿OP∨¿2,OP与x轴的正方向所成的角为5π3,∴点P的一个极坐标为(2,5π3),故(2,-π3)可为点P的一个极坐标.答案:C8极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ¿12的图形是()解析:把ρcosθ¿12化为直角坐标方程,得x¿12,又圆ρ=cosθ的圆心为(12,0),半径为12,故选项B正确.答案:B9直角坐标为(3−√3,3+√3¿的点的极坐标可能是()A.(2√6,-5π12)B.(2√6,5π12)3C.(-2√6,7π12)D.(2√6,7π12)解析: ρ¿√(3-√3)2+(3+√3)2=2√6(ρ>0),点(3−√3,3+√3¿在第一象限,tanθ¿3+√33-√3=1+√331-√33=tan5π12,∴点(3−√3,3+√3¿的极坐标为(2√6,5π12).答案:B10极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q(1,π2)的最短距离等于()A.√2−1B.√5−1C.1D.√2解析:将ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即√2−1.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在极坐标系内,点(2,π2)关于直线ρcosθ=1的对称点的极坐标为.解析:点(2,π2)的直角坐标为(0,2),直线ρcosθ=1的直角坐标方程为x=1,所以(0,2)关于x=1的对称点为(2,2),它的极坐标为(2√2,π4).答案:(2√2,π4)12两条直线ρsin(θ+π4)=2016,ρsin(θ-π4)=2017的位置关系是.解析:两直线方程可化为x+y=2016√2,y−x=2017√2,故两条直线垂直.答案:垂直13在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ¿=6的距离的最小值是.解析:圆的直角坐标方程为x2+y2=4,直线的直角坐标方程为x+√3y−6=0,4所以圆心到直线的距离为|-6|√1+3=3,所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.答案:114已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析: {ρcosθ=3,ρ=4cosθ,①②∴4cos2θ=3,∴2(1+cos2θ)=3.∴cos2θ¿12. 0≤2θ<π,∴θ¿π6.代入①得ρ=2√3.∴曲线C1与C2交点的极坐标为(2√3,π6).答案:(2√3,π6)15在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ¿π3,ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积是.解析:三条直线θ=0,θ¿π3,ρcosθ+ρsinθ=1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y¿√3x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B(√3-12,3-√32)故S△AOB¿12×3-√32×1=3-√34.答案:3-...
