习题课(3)一、选择题1．[2014·人大附中月考]以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A.y2＝16xB.y2＝－16xC.y2＝8xD.y2＝－8x解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.答案：A2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－＋|P3F|－＝2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.答案：A3．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得y＝－.∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.答案：B4．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A．1B．2C．3D．4解析： 点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．答案：C5．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于()A．2aB.C．4aD.解析：可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xp＋＝＋＝，|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.答案：D6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动1点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是()A.(－∞，－3)∪[1，＋∞)B.[－3,1]C.[1，＋∞)D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)， BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0， t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.答案：D二、填空题7．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值是__________．解析：抛物线y＝ax2化为x2＝y，由于其准线方程为y＝1，故a<0，且||＝1，解得a＝－.答案：－8．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案：29．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝__________.解析： 直线AF的斜率为－，∴∠PAF＝60°.又|PA|＝|PF|，∴△PAF为正三角形，作FM⊥PA，则M为PA中点，MA＝p，∴PA＝2p.∴|PF|＝|AP|＝2p＝8.答案：8三、解答题10．(1)求过点(－，0)(p>0)且与直线x＝相切的动圆圆心M的轨迹方程；(2)平面上动点M到定点F(0,3)的距离比M到直线y＝－1的距离大2，求动点M满足的方程，并画出相应的草图．解：(1)根据抛物线的定义知，圆心M的轨迹是以点(－，0)为焦点，直线x＝为准线的抛物线，其方程为y2＝－2px(p>0)．(2)因为动点M到定点F(0,3)的距离比点M到直线y＝－1的距离大2，所以动点M到定点F(0,3)的距离等于点M到直线y＝－3的距离，由抛物线的定义得动点M的轨迹是以定点F(0,3)为焦点，定直线y＝－3为准线的抛物线，2故动点M的轨迹方程为x2＝12y，草图如上图所示．11．已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足PA·PB－y2＋8＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．解：(1)由题意可知，PA＝(－x,4－y)，PB＝(－x，－2－y)，∴x2＋(4－y)(－2－...
