限时集训（二十二）不等式选讲基础过关1.设函数f(x)=|x+a|+2a.(1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4},求a的值;(2)在(1)的条件下,若不等式f(x)≥k2-k-4恒成立,求k的取值范围.2.设a>0,b>0,且a2b+ab2=2,求证:(1)a3+b3≥2;(2)(a+b)(a5+b5)≥4.3.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f(ba).4.设函数f(x)=|x+1|-|x-1|.(1)求不等式f(x)>1的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≥|a-1|+a有解,求实数a的取值范围.能力提升5.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥4;(2)若不等式f(x)≤|x+3|的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.6.已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)≤x+1;(2)设函数f(x)的最小值为c,实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c,求证:a2a+1+b2b+1≥1.限时集训(二十二)基础过关1.解:(1)f(x)≤1,即|x+a|+2a≤1,所以|x+a|≤1-2a,所以2a-1≤x+a≤1-2a,所以a-1≤x≤1-3a.因为不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4},所以{a-1=-2,1−3a=4,解得a=-1.(2)由(1)得f(x)=|x-1|-2.不等式f(x)≥k2-k-4恒成立,只需f(x)min≥k2-k-4,所以-2≥k2-k-4,即k2-k-2≤0,解得-1≤k≤2,所以k的取值范围是[-1,2].2.证明:(1)∵a>0,b>0,a2b+ab2=2,∴a3+b3-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,∴a3+b3≥2.(2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2,∵a>0,b>0,a3+b3≥2,∴(a+b)(a5+b5)≥22=4.3.解:(1)原不等式等价于|x-2|+|x+2|≥6,可得{x≤−2,-2x≥6或{-2|a|f(ba),只需证|ab-1|>|b-a|,只需证(ab-1)2>(b-a)2.因为(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,所以(ab-1)2>(b-a)2,即原不等式成立.4.解:(1)由题意得f(x)={-2,x≤−1,2x,-11得{x≤−1,-2>1或{-11或{x≥1,2>1,解得x∈⌀或1212,因此,不等式f(x)>1的解集为xx>12.(2)因为不等式f(x)≥|a-1|+a有解,所以f(x)max≥|a-1|+a.由(1)知f(x)max=2,则有|a-1|+a≤2,即|a-1|≤2-a,所以a-2≤a-1≤2-a,解得a≤32,即a的取值范围为(-∞,32].能力提升5.解:(1)当a=1时,由f(x)≥4,得{x<−2,-2x-1≥4或{-2≤x≤1,3≥4或{x>1,2x+1≥4,解得x≤-52或x∈⌀或x≥32,则不等式f(x)≥4的解集为-∞,-52∪[32,+∞).(2)由题意知f(x)≤|x+3|在[0,1]上恒成立.∵x∈[0,1],∴x+2>0,x+3>0,∴|x-a|≤1在[0,1]上恒成立.∵y=|x-a|在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴{|0-a|≤1,|1-a|≤1,解得{-1≤a≤1,0≤a≤2,即0≤a≤1,∴a的取值范围是[0,1].6.解:(1)f(x)≤x+1,即|x-1|+|x-3|≤x+1.当x<1时,不等式可化为4-2x≤x+1,解得x≥1,又∵x<1,∴x∈;⌀当1≤x≤3时,不等式可化为2≤x+1,解得x≥1,又∵1≤x≤3,∴1≤x≤3;当x>3时,不等式可化为2x-4≤x+1,解得x≤5,又∵x>3,∴31,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4.则a2a+1+b2b+1=(m-1)2m+(n-1)2n=m+n+1m+1n-4=4mn≥4(m+n2)2=1,当且仅当m=n=2时取等号,即原不等式得证.
