（名师导学）高考数学总复习 第九章 直线、平面、简单几何体和空间向量 第60讲 立体几何中的向量方法（二）——利用空间向量求空间角与距离练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第60讲立体几何中的向量方法(二)——利用空间向量求空间角与距离夯实基础【p137】【学习目标】会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离．【基础检测】1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A．90°B．30°C．45°D．60°【解析】易知a与b的夹角即为直线与平面所成的角，设为θ，则cosθ＝＝，所以θ＝60°.【答案】D2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】易知m与n的夹角或其补角即为两平面所成的二面角，设为θ，则|cosθ|＝＝，则cosθ＝±，所以θ为45°或135°.【答案】C3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，则A1B＝(－1，1，－2)，AC＝(－1，0，0)，cos〈A1B，AC〉＝＝＝.【答案】D4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则DB到平面EFG的距离为()A.B.C.D．1【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标系，∴F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，∴FE＝(－2，2，0)，EG＝(－2，－4，2)，∴平面EFG的一个法向量为m＝(1，1，3)， BD∥平面EFG，∴直线BD到平面EFG的距离即点B到平面EFG的距离，∴d＝＝.【答案】B【知识要点】1．空间角和空间距离的向量表示(1)直线与平面所成的角直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线a与平面α所成的角θ等于向量m，n所成的锐角的余角(若所成角为钝角，则取其补角的余角)，即__sin__θ＝__．特例：若m⊥n，则__a∥α__或__a⊂α__．若m∥n，则a⊥α.(2)二面角的平面角设二面角α－l－β的两个半平面α和β的法向量分别为m，n，二面角α－l－β的大小为θ，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补．当二面角为锐角时，cosθ＝|cos〈m，n〉|＝；当二面角为钝角时，__cos__θ＝－|cos__〈m，n〉|＝－__．特例：若m∥n，则__α∥β__，若m⊥n，则__α⊥β__．2．点到平面的距离设平面α的法向量为__n__，P是平面α外一点，Q是平面α内任一点，则点P到平面α的距离d等于PQ在法向量n上的投影的绝对值，即d＝____．典例剖析【p137】考点1求异面直线所成的角如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【解析】(1)如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以AE＝(1，，)，CF＝.故cos〈AE，CF〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.考点2求直线与平面所成的角如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，PA⊥BD，BC＝CD＝AB，PA＝PD.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若直线PA与平面ABCD所成角为45°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．【解析】(1)因为ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，又因为BC＝CD＝AB，所以AD＝BD＝BC，所以AD2＋BD2＝4BC2＝AB2，所以AD⊥BD，又因为PA⊥BD，AD∩PA＝A，所以BD⊥平面PAD，又因为BD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)作PE⊥AD于E，因为PA＝PD，所以E为AD中点，由(1)知平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平...