高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理达标训练 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

四直角三角形的射影定理更上一层楼基础·巩固1下列命题正确的是（）A.所有的直角三角形都相似B.所有的等腰三角形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似思路解析:此题容易混淆的是D，D中所有的有一个角是30°的等腰三角形，若一个是顶角为30°,而另一个是底角为30°，那么这两个等腰三角形不相似，即条件中30°角的位置不明确.答案：C2如图1-4-9，已知△ABC∽△ADE，且∠ADE=∠B，则下列比例式中正确的是（）图1-4-9A.DCADBEAEB.ACADABAEC.BCDEACADD.BCDEACAE思路解析:本题的关键是找准对应边，∠ADE=∠B，那么∠ADE的对边AE与∠B的对边AC是对应边，DE与BC是对应边，所以D正确.答案：D3如图1-4-10，在ABCD中，F是BC边上的点，延长DF与AB的延长线相交于G，则相似三角形有…（）图1-4-10A.3对B.4对C.5对D.6对思路解析:若包括全等三角形在内，有6对相似三角形，其中上、下看：△GBF∽△GAD，△EFC∽△EDA；左、右看：△GFB∽△DFC，△GAE∽△DCE，△GAD∽△DFC.又因为DC∥AG，所以△ABC≌△CDA，于是共有6对三角形相似.答案：D4如图1-4-11，ABCD是矩形,∠BEF=90°，①、②、③、④这四个三角形能相似的是（）1图1-4-11A.①与②B.①与③C.②与③D.②与④思路解析:∵∠BEC=90°，∴∠1与∠2互余.又∠3与∠2互余，∴∠1=∠3且有直角相等.∴图①与图③相似.答案：B5如图1-4-12,已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，求证:CD·AC=BC·AD.图1-4-12思路分析:分别在三个直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，有CD2=BD·AD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.将第一个式子和第三个式子相乘，就有CD2·AC2=BD·AB·AD2，将BD·AB换成BC2，然后两边开方即得.证明：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，∴CD2=BD·AD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.∴CD2·AC2=BD·AB·AD2,CD·AC=BC·AD.∴CD2·AC2=BC2·AD2.∴CD·AC=BC·AD.6如图1-4-13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高.已知BD=4，AB=29，试求出图中其他未知线段的长.图1-4-13思路分析:本题应利用直角三角形的射影定理进行计算，根据条件直接计算可得结论.解由已知，BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，∴BC=292294ABBD∴AD=AB-BD=29-4=25.∵AC2=AD·AB，∴AC=2952925ABAD.∵CD2=AD·BD，∴CD=10425BDAD.综合·应用7如图1-4-14，已知BC2=BD·AB，能否推出CD⊥AB？如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CD⊥AB.2图1-4-14思路分析:根据已知条件，只能得到△BCD和△BAC相似，但不能断定CD⊥AB.必须再附加其他条件.解：根据已知条件，不能推出CD⊥AB.可以添加条件∠BCA是直角.8暑假里，方程帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有两种大小不同的“竹夹鱼”,价钱也不同，如图1-4-15所示，鱼长10cm的每条10元；鱼长13cm的每条15元.方程不知道买哪种更好些，你看怎么办？图1-4-15思路分析:由相似形可知，两个相似图形的大小的比等于相似比，两个相似图形的面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好.解：设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm，即B与A的长度之比为1013，则体积之比为10002197101333=2.197；又B与A的价格之比为1015，这里B种鱼的体积是A种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5倍，显然，买B种鱼比买A种鱼更划算.3