第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹有以下说法:①点P的轨迹一定是椭圆;②2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;③2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;④点P的轨迹一定存在;⑤点P的轨迹不一定存在.则上述说法中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C2.双曲线x29−y216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.√3B.3C.4D.2答案:C3.抛物线y=4ax2(a>0)的焦点坐标是()A.(14a,0)B.(0,116a)C.(0,-116a)D.(116a,0)答案:B4.设抛物线的顶点在原点,焦点F在y轴上,若抛物线上的点(k,-2)与点F的距离为4,则k等于()A.4或-4B.5C.5或-3D.-5或3答案:A5.若椭圆x22+y2m=1的离心率为12,则实数m=()A.32或83B.32C.38D.32或38答案:A6.双曲线x2a2−y2b2=1¿a>0,b>0),过焦点F1的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|=m,另一焦点为F2,则△ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m解析:由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a.1所以|AF2|+|BF2|-|AF1|-|BF1|=|AF2|+|BF2|-|AB|=|AF2|+|BF2|-m=4a,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.故|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:C7.设点P是椭圆x24+y23=1上的动点,F1,F2是焦点,设k=|PF1|·|PF2|,则k的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:因为点P在椭圆x24+y23=1上,所以|PF1|+|PF2|=2a=4.所以4=|PF1|+|PF2|≥2√PF1·PF2,故|PF1|·|PF2|≤4.答案:D8.P是椭圆x29+y25=1上的动点,过点P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()A.4x29+y25=1B.x29+4y25=1C.x29+y220=1D.x236+y25=1解析:用代入法,设点P的坐标为(x1,y1),PM的中点的坐标为(x,y),则x1=x,y1=2y,代入椭圆方程即得PM的中点的轨迹方程.答案:B9.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.√3+12D.√5+12解析:设双曲线方程为x2a2−y2b2=1¿a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则kBF=−bc,双曲线的渐近线方程为y=±bax,∴−bc·ba=−1,即b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得e¿1±√52.又e>1,∴e¿√5+12,故选D.答案:D10.双曲线的虚轴长为4,离心率e¿√62,F1,F2分别是它的左,右焦点,若过点F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项,则|BF1|等于()A.8√2B.4√2C.2√2D.82解析:由题意,b=2,a=2√2,c=2√3,由|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项及双曲线的定义得|BF1|=a.答案:C二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若双曲线x24−y2b2=1¿b>0)的渐近线方程为y=±12x,则b=.解析:由双曲线渐近线方程知b2=12,则b=1.答案:112.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.解析:由椭圆定义得|PF2|=2a-|PF1|=6-4=2.由余弦定理可得cos∠F1PF2=−12,又∠F1PF2是三角形的内角,故∠F1PF2=2π3.答案:22π313.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.解析:设该点坐标为(x,y).由题意知x=10−p2,|y|=6.代入抛物线方程得36=2p(10-p2),解得p=2或p=18.答案:y2=4x或y2=36x14.过点¿-2)且与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线方程是.解析:设双曲线方程为x22−y2=m(m≠0),将已知点的坐标代入可得m=-3.故所求双曲线方程为y23−x26=1.答案:y23−x26=115.以下命题:①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等.②过点(x0,y0)与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2.③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.④抛物线上任意一点M到焦点的距离等于点M到其准线的距离.其中正确命题的序号是.3解析:①中斜率不一定存在;②点(x0,y0)不一定在圆上;③当2a=|F1F2|时,轨迹为线段.答案:④三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知抛物线y2=8x,过点M(2,1)的直线交抛物线于A,B两点,如果点M恰是线段AB的中点,求直线AB的方程.分析:利用“设而不求”和“点差法”解决.解:由题意知,直线斜率显然存在.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线斜率为k,则y2+y1=2.将A,B...
