第一章1.5第2课时定积分的概念A级基础巩固一、选择题1．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于(C)A．6B．6(b－a)C．36D．不确定[解析]6f(x)dx＝6f(x)dx＝36．故应选C．2．设f(x)＝则f(x)dx的值是(D)A．x2dxB．2xdxC．x2dx＋2xdxD．2xdx＋x2dx[解析]由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D．3．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝(C)A．2B．－3C．－1D．4[解析][2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1．4．(2018·临沂高二检测)设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a、b、c的大小关系为(B)A．c>a>bB．a>b>cC．a＝b>cD．a>c>b5．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则f(x)dx的值(A)A．等于0B．大于0C．小于0D．不确定[解析]∵f(x)为奇函数，由定积分性质知，f(x)dx＝0，选A．6．下列定积分的值等于1的是(D)A．xdxB．(x＋1)dxC．dxD．1dx二、填空题7．由y＝sinx、x＝0、x＝、y＝0所围成的图形的面积可以写成sinxdx．[解析]由定积分的几何意义可得．8．(2x－4)dx＝12．[解析]如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S△AOM＝×2×4＝4，S△MBC＝×4×8＝16，∴(2x－4)dx＝16－4＝12．三、解答题9．利用定积分的几何意义，解释下列等式．(1)2xdx＝1；(2)dx＝．[解析](1)2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0、x＝1、y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1．1(2)dx表示由曲线y＝，直线x＝－1、x＝1、y＝0所围成的图形面积(而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，故dx＝．10．利用定积分的几何意义求dx．[解析]由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)的图形为半圆，故∫－dx为圆心角120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝××12－×1×1×sinπ＝－S矩形ABCD＝AB·BC＝2××＝．∴dx＝＋．B级素养提升一、选择题1．下列命题不正确的是(D)A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正[解析]本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．2．(2018·淮南一模)求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是(A)A．S＝(x－x2)dxB．S＝(x2－x)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy[解析]根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO－S曲边梯形ABO＝(x－x2)dx；故选A．2二、填空题3．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为f(x)＝x＋．[解析]设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)图象过(3,4)点，∴3a＋b＝4．又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝1．解方程组得∴f(x)＝x＋．4．(2017·兴庆区校级二模)由直线y＝－x＋和曲线y＝围成的封闭图形的面积为－2ln2．[解析]曲线y＝－x＋，直线y＝联立，可得交点坐标为(，2)、(2，)，∴曲线y＝－x＋，直线y＝所围成的封闭图形的面积为S＝(－x＋－)dx＝(－x2＋x－lnx)|＝－2ln2．故答案为－2ln2．三、解答题5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．[解析]由定积分的几何意义知x3dx＝0，2xdx＝＝π2－4，cosxdx＝0，由定积分的性质得f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cosxdx＝π2－4．6．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx．[解析](1)3x3dx＝3x3dx＝3(x3dx＋x3dx)＝3×(＋)＝12．(2)6x2dx＝6x2dx＝6(x2dx＋x2dx)＝6×(＋)＝126．3(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－．C级能力拔高画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5．(2)y＝logx，y＝0，x＝，x＝3．[解析](1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，则S＝|sinx|dx或S＝sinxdx＋(－sinx)dx＝sinxdx－πsinxdx．(2)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S．则S＝logxdx－logxdx．4
