第二章2.32.3.2第2课时请同学们认真完成练案[16]A级基础巩固一、选择题1．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为(B)A．B．C．D．[解析]将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1得3x2＋2x－2＝0.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.故选B．2．(2019－2020学年湖南省长沙市望城区二中月考)设双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率e的取值范围是(A)A．B．(，2)C．(1,2)D．(2,2)[解析]要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线l的斜率，即＜1，所以e2＝1＋＜1＋1＝2，所以e∈(1，)故选A．3．(2017·天津文，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(D)A．－＝1B．－＝1C．－y2＝1D．x2－＝1[解析]根据题意画出草图如图所示.由△AOF的边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D．4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(C)1[解析]方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a、b一致．应选C．5．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝(C)A．1或5B．6C．7D．9[解析] 双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝， b＝3，∴a＝2.又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．6．已知点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，且满足PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率是(B)A．B．C．D．[解析]如图， 点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，且满足PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2， tan∠PF1F2＝，∴＝，设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，∴|F1F2|＝2c＝＝＝x，由双曲线定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝3x－x＝2x，∴该双曲线的离心率e＝＝＝.故选B．二、填空题7．(2019－2020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)双曲线－y2＝1一个焦点到一条渐近线的距离为__1__.[解析]根据对称性，－y2＝1焦点坐标F(，0)，渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，焦点到渐近线距离为＝1.故答案为1.8．过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有__1__条．[解析]依题意得右焦点F(5,0)，所以过F且垂直x轴的直线是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝.当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长．因为两顶点间距离为4，即左右两支上的点的最短距离是4，所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条．2三、解答题9．(2020·黑龙江省学业水平考试)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点(4，－)．(1)求双曲线标准方程；(2)若直线y＝k(x－1)与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．[解析](1)由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点(4，－)，设双曲线的方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，由e＝＝，可得a＝b，由其过点(4，－)，可得－＝1，可得a＝b＝，故双曲线标准方程为：－＝1.(2)联立直线y＝k(x－1)与双曲线：－＝1，可得：(1－k2)x2＋2k2x－k2－6＝0，可得：1－k2≠0，且Δ＞0，可得：4k4－4(1－k2)(－k2－6)＞0，可得：k≠±1，且－＜k＜，故k的取值范围是：∪(－1,1)∪.10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．[解析](1) 双曲线C：－＝1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，∴＝，a＝，解得c＝3，又c2＝a2＋b2，b＝，∴双曲线的方程为－＝1.(2)双曲线－＝...
